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question stringlengths 9 3.81k	answer_ideas listlengths 1 1	refined_standard_answer listlengths 1 1	sub_subject_name stringclasses 47 values	subject_name stringclasses 7 values
有一个带正电荷且质量为M的小球被一根线悬空挂起，初始时自然下垂。另外一个带正电的小球从无限远处缓慢移动到前一个小球的初始位置。由静电作用，前一个小球将被推开，并相较于初始位置高了h。求移动过程中做的功。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
在光滑水平桌面上，\(N\)个相同的光滑匀质小球均匀排列成一个四分之一圆弧，总质量为\(M\)。一个质量为\(m\)的光滑匀质球形猪（与圆弧上小球大小相同）从左边以速度\(v_{0}\)射向最边上的小球，速度方向与四分之一圆弧边缘的切线平行。假设所有碰撞都是完全弹性的，在适当初始条件下，球形猪与圆弧上所有\(N\)个小球依次发生弹性碰撞后最终速度偏转\(90^{\circ}\)径直离去。为方便起见，不考虑圆弧上\(N\)个小球彼此之间可能的碰撞。已知\(e = \lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}\)。 (1)\(N\)很大，直接研究\(N \to \infty\)的极限情况，为发生题中要求的碰撞情形，\(M/m\)需要满足什么条件？ (2)\(M\)取满足第一问条件的最小值时，球形猪离开四分之一圆弧的速度是多少？（依旧认为\(N \to \infty\)） (3)若在球形猪撞上第一个小球前，半路出现一只相同大小的球形匀质光滑拦路虎，拦路虎初始静止，等球形猪来撞。则拦路虎的质量\(m_{T}\)需要满足什么条件才有可能在合适的碰撞角度下凭一己之力将球形猪的速度方向改变\(90^{\circ}\)且散射后自身的速度大小比球形猪要小？	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
这是一个著名的机械悖论装置：两根轨道形成角度 $2 \beta$ ，固定在一个倾斜平面内，此平面与水平方向的夹角为 $\theta$ ．现在其上对称地放置一个由两个相同的半顶角为 $\alpha$ 的匀质圆锥体底对底结合形成的刚体，则有时可以发现，刚体将向上坡方向滚去．已知刚体的最大半径为 $R$ ，重力加速度 $g$ ，假设刚体与轨道间不发生相对滑动．记刚体与两轨道的接触点为 P ，两个 P 点连线的中点为 $\mathrm{P}^{\prime}$ ，以轨道顶点为原点建立直角坐标系 $x y z$ ，这里 $x, y$分别是水平和竖直方向．记 $h$ 为 $\mathrm{P}_{,} \mathrm{P}^{\prime}$ 点的 $y$ 坐标，$q$ 为 $\mathrm{P}^{\prime}$ 点到坐标．（1）基本性质．（i）求 P 点到刚体轴线的距离 $r$ ，表示为 $q$ 的函数．并求刚体不掉下轨道的前提下，$q$ 的最大值 $q_{\max }$ ．（ii）若希望刚体能向上坡方向自发滚去，$\alpha, \beta, \theta$ 应满足何条件？下面均假设此条件满足．（iii）将刚体在轨道顶角 $(x=0)$ 处释放，求刚体滚到 $q=q_{\max } / 2$ 时绕其自转轴转过的角度 $\Delta \varphi$ ．（2）动力学问题．（i）写出刚体的动能 $K$ ，用刚体质心的 $x, \dot{x}$ 表示．（ii）已知 $\theta=\pi / 6$ ．在刚体刚好可以自发滚上坡的条件下，在 $q=0$ 处给予刚体初始动能 $K$ ，求刚体滚到 $q=q_{\max } / 2$处所需的时间．	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
质量为$m$的质点在指向圆周上某点的有心吸引力$f$作用下作圆周运动，求解该力$f$与距离$r$的关系式（假设吸引力力心在坐标原点，圆周运动半径为$R$，圆心在$(x=R, y=0)$处，角动量$l$为常数）。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
转子发动机（Wankel Engine）是由德国人菲加士•汪克尔（Felix Wankel）所发明。他在总结前人工作的基础上，解决了一些关键技术问题，成功研制了第一台转子发动机。转子发动机采用三角转子旋转来控制压缩和排放，与传统的往复活塞式发动机的直线运动迴然不同。转子发动机的运动特点是：三角转子的中心绕输出轴中心公转的同时，三角转子本身又绕其中心自转。这样使得三角转子顶点的运动轨迹（即汽缸壁的形状）似＂ 8 ＂字形。三角转子把汽缸分成三个独立空间，三个空间各自先后完成进气，压缩，做功和排气，三角转子自转一周，发动机点火做功三次。（1）转子发动机中心齿轮固定在缸体上，其中心为 P ；正三角形 ABC 中心为 0 ，同样也是内齿圈的中心。内齿圈与中心齿轮啮合于 $Q$ ，转子中心半径 $3 r$ 圆柱体内壁只有与中心齿轮接触部分为内齿圈，其余部分光滑。圆弧 AB 圆心为 C ；圆弧 BC 圆心为 A ；圆弧 AC 圆心为 $\mathrm{B} ; \mathrm{ABC}$ 三点与缸体外壳接触点密封良好且无相互作用力。传动轴顶部圆柱体半径略小于 $3 r$ ，与转子接触点保持光滑，中心齿轮与传动轴不接触。设 $\mathrm{AO}=a, \mathrm{PQ}=$ $20 \mathrm{P}=2 r$ 。（1．1）设 $\theta$ 为 OP 相对 $y$ 轴转过的角度，$\theta=0$ 时 $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 均在 $y$ 轴上。以 $\theta$ 为参数，在直角坐标系下，写出A点运动轨迹的参数方程 $x(\theta), y(\theta)$ ，此即缸体内壁的方程。（1．2）设缸体内壁深（即转子的高）为 $d$ ，工作室 AB 容积 $V(\theta)$ 与角度 $\theta$ 的关系为 $$ V(\theta)=\pi r^2 d-\frac{\pi a^2 d}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2} a^2 d-\frac{9 r a d}{4} \sin \left(\frac{2 \theta}{3}\right)-\frac{3 \sqrt{3} \mathrm{rad}}{4} \cos \left(\frac{2 \theta}{3}\right) $$ 根据上述表达式，给出 $V$ 的极大值 $V_{+}$，极小值 $V_{-}$，以及对应的 $\theta$ 的值。（1．3）设工作室 AB 内气体压强 $P=P(\theta)$ 。在转子匀速转动时，求出传动轴上的外力矩 $M=$ $M(\theta)$ 。答案可含 $P(\theta+\varphi)$ ，其中 $\varphi$ 为任意常数。注意一共有三个工作室。（2）气缸中燃料X燃烧的热化学方程式为 $$ t_1 X(g)+t_2 O_2(g)=t_3 \mathrm{CO}_2(g)+t_4 \mathrm{H}_2 O(g) $$ $$ \Delta H=-H_0(\mathrm{~J} / \mathrm{mol}) $$ 其中焓 $H=U+P V, U$ 为内能，负号表示反应放热。本题中 $H_0>0$ 可近似视为常数。设参数 $\mu=\frac{t_3+t_4}{t_1+t_2}, h=\frac{H_0}{t_1+t_2}$ 。进气口，排气口，点火器坐标分别为 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{1}{2} a-r\right),\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a,-\frac{1}{2} a+\right.$ $r),\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{1}{2} a-r\right)$ 。已知进气口处气体压强为 $P_1$ ，出气口处气体压强为 $P_0$ 。进入气缸的气体均为 $t_1: t_2$ 的温度为 $T_0$ 的 $X-O_2$ 混合气体，等压摩尔热容 $C_{v, m}=\alpha R$ 。排出的气体均为 $t_3: t_4$ 的 $\mathrm{CO}_2-\mathrm{H}_2 \mathrm{O}(\mathrm{g})$ 混合气体，等压摩尔热容 $C_{v, m}=\beta R$ 。全过程中水保持气态，所有气体均为理想气体。对于 $A B$ 工作室，循环分为如下几个部分：步骤 1：$\theta=-5 \pi / 2$ ，关闭排气口，打开进气口，工作室内气压瞬间变为 $P_1$ ，此时温度分布不均匀；步骤 2：$\theta=-\pi$ ，关闭进气口，工作室内气体已达热力学平衡，此时温度已均匀分布，然后气体绝热压缩；步骤 3：$\theta=\pi / 2$ ，点火，发生反应可视为瞬时完成，反应前后焓不变，然后气体绝热膨胀；步骤 4：$\theta=2 \pi$ ，打开排气口，工作室内气压瞬间变为 $P_0$ ，可视作气体瞬间绝热膨胀；步骤 5：$\theta=7 \pi / 2$ ，关闭排气口，打开进气口，即回到步骤1。参数：$\mu=0.937500, h=284.3750 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, P_0=101325.0 \mathrm{~Pa}, P_1=70000 \mathrm{~Pa}, \alpha=2.53125$ ， $$ \beta=2.76667, V_{+}=900.000 \mathrm{~mL}, V_{-}=200.000 \mathrm{~mL}, T_0=320.000 \mathrm{~K} . $$ 本问答案均保留 6 位有效数字。（2．1）设 $\theta=-5 \pi / 2$ 时工作室 AB 内有摩尔数为 $n_f$（未知），温度为 $T_f$（未知）的 $t_3: t_4$ 的 $\mathrm{CO}_2-$ $\mathrm{H}_2 \mathrm{O}(g)$ 混合气体，$\theta=-5 \pi / 2$ 到 $\theta=-\pi$ 过程中共有 $n_1=0.0163735 \mathrm{~mol}$ 混合燃气进入工作室 AB ，且 $\theta=-\pi$ 时工作室内气体温度 $T_1$ 。请利用热力学第一定律求出 $n_f$ 和 $T_1$ 。设 $\theta=-\pi$ 时，混合气体满足 $C_{v, m}=\gamma R$ ，求 $\gamma$ 的表达式，用 $\alpha, \beta, \mu, h, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, n_1, T_0$ 表示，并代入数值计算 $\gamma$ 的值。（2．2）请求出 $\theta=\pi / 2$ 点火后气体的温度 $T_2$ ，压强 $P_2$ 表达式，用 $\alpha, \beta, \mu, h, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, n_1, T_0$ ，表示，并代入数值计算 $P_2$ 的值。（2．3）设 $\theta=7 \pi / 2$ 循环结束时，工作室内气体温度仍为 $T_f$ ，求 $n_1$ 满足的方程。此时由于 $T_2, P_2, n_f$ 与 $n_1$ 关系已知，因此可直接用 $T_2, P_0, P_1, P_2, n_f, \alpha, \beta$ 表示。（2．4）求工作室 AB 内气体压强 $P=P(\theta)$ ，用 $\alpha, \beta, \gamma, \theta, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, P_2$ 表示。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
本题考虑小球在一类特别的曲面内壁的运动特征，即旋转曲面．对于函数 $\rho(z)$ ，将其函数绕 $z$ 轴旋转一周，即可得到一个旋转曲面，我们称 $\rho(z)$ 为此曲面的曲面方程．考虑质量 $m$ 的小球在这样的光滑曲面上的运动，$z$ 轴方向坚直向上，已知重力加速度 $g$ ，约定 $z \geq 0$ ，假设小球不会离开曲面内壁．（1）曲面运动．考虑 $\rho(z)=z \tan \theta$ 给出的曲面，这里 $0<\theta<\pi / 2$ 是一个常量．小球在曲面内壁做圆周运动．（i）若小球位于 $z=h_0$ 处，求圆周运动速率 $v_0$ ．（ii）假如某时刻小球速度突然增大到 $\sqrt{1+\alpha} v, \alpha>0$ 而方向不变，求小球能到达的最大高度 $h^{\prime}$ ．假设小球不会离开锥面内壁。（iii）当 $\alpha$ 很小时，求小球 $z$ 方向运动的周期．（2）一般曲面．现在考虑一般的光滑曲面方程 $\rho(z)$ ．记 $\rho(0)=\rho_0>0$ ．（i）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的速度均为 $v_0$ ．（ii）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的角速度均为 $\omega_0$ ．（iii）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的角动量均为 $L_0$ ．此曲面的高度最高为多少？（iv）考虑上问求得的这样一个曲面．对其上圆周运动的粒子给予一个过轴线的竖直平面内，且沿曲面切线（即旋转曲面的母线切线方向）的速度微扰，判断粒子轨道在微扰下的稳定性．	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
一个半径为R质量为M的星球，在它的表面缓慢地挖出一个宽度为d的窄沟壑，一直向下直到将星球平分为两半，如果挖出来的土被均匀地堆在了星球表面，请从工程所耗的功的角度，求出需要多大的力才能维持这条“沟壑”不坍塌?	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
台球桌与台球摩擦系数\(\mu\) ，台球为匀质实心弹性球，桌面边缘简化为比球心高的竖直面，碰撞前台球以\(v_0\) 速度垂直于边缘纯滚。 - (1)：桌面弹性且光滑，求台球稳定后速度大小\(v_1\) 。 - (2)：桌面弹性且有摩擦系数\(\mu\) ，求台球飞起方向与\(x\)轴夹角。 - (3)：台球与桌面竖直方向碰撞恢复系数\(e = 0\) ，求台球稳定后速度大小\(v_2\) 。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
为了把煤块磨成火力发电所需的煤粉，常用的机械是球磨机，其主要部分是一个圆筒，里面装有很多小钢球，圆筒转动带动钢球，使钢球被抛起，砸到圆筒底部的煤块上，把煤块砸碎从而生产出煤粉。记圆筒半径为 $R$ ，转动角速度恒定且为 $\omega$ 。（1）设圆筒内壁完全粗糙，问 $\omega$ 至少为何值才能使紧贴内壁的钢球能随着圆筒转动而始终不脱离圆筒壁；将这个 $\omega$ 值记为 $\omega_s$ ；（2）然而，如果以 $\omega_s$ 转动，钢球不能够被有效抛出，磨煤效果不好，要达到最理想的效果，应使得钢球被抛出后的轨道最高点到落地点的高度差取最大值，考虑到这一点，请计算最理想状态下圆筒角速度 $\omega_g$ ；（3）用皮带传动的方法牵引球磨机圆筒转动，皮带质量线密度为 $\rho$ ，两直边上分别有张力 $F_1$ 和 $F_2$ ，并记 $F_0=\frac{F_1+F_2}{2}$ ，已知工作状态下 $F_0$ 是固定的常量。假定球磨机圆筒外壁足够粗糙，而主动轮外壁与皮带的静摩擦系数为 $\mu$ ，皮带包住主动轮外壁的圆心角为 $\theta_0$ ，为避免打滑，又要使主动轮输出的功率最大，问皮带的最佳速度 $v_0$ 是多少。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
长$l$质量为$m$的刚性杆AB水平放在半径$r$的固定半圆柱面上做无滑动摆动。在静平衡时AB杆质心在圆柱面顶点，以接触点与圆心连线和平衡位置与圆心连线的张角$\theta$为变量，求摆动微分方程（不需要做任何近似)	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
1米高的桌面上盘着一条1米长的绳索，让绳索从一端开始从桌子上掉落，拽着越来越多的绳子往下掉，忽略一切摩擦，求经过多长时间这条绳索完全掉在地上?	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
一根均匀的柱子（长度2L，质量为M）横放在地上，可以绕其中点水平旋转，有两个人（各自质量为m）站在柱子两端，为了使他们能通过一次同时的斜向跳跃，让柱子旋转，由此互换两人在柱子上的位置，求问柱子和人的质量应满足什么条件。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
太阳系中均匀分布的尘埃会对行星施加一额外的引力，其表达式为\[ \mathbf F = -mC\mathbf r \]，其中 \( m \) 为行星质量，\( C \) 是与引力常数和尘埃密度成正比的常数，\( \mathbf r \) 为太阳指向行星的径矢（两者均视为质点）。该引力远小于太阳与行星之间的直接引力。计算行星在此复合力场中作半径为 \( r_0 \) 的圆周运动的周期$\tau$（\( \tau_0 = 2\pi r_0^{3/2} \sqrt{m/k} \) 为无微扰势时的圆周运动周期）。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
在一个半径为\(R\)的光滑的固定的碗里，有一根长度为\(l\)的轻质牙签，牙签两头固定有质量为\(m\)的光滑小球。开始的时候静止在最低点，牙签沿着\(x\)方向。 (1) 回复力（或力矩）、能量、动力学微分方程的判定方法是判定简谐振动常见方法，如果判定某系统回复力（或力矩）为\(F = - kx\)；或者动、势能表达式为\(E_{k}+E_{p}=1/2m\dot{x}^{2}+1/2kx^{2}=\)常量；或者算得其动力学微分方程为\(\ddot{x}+(k/m)x = 0\)，其中\(m\)为系统等效质量（或转动惯量），\(x\)为坐标（或角度），\(\dot{x}\)为速度（或角速度），\(\ddot{x}\)为加速度（或角加速度），都可以判定系统做简谐振动。其周期为______； (2) 给两个小球一个切向微扰，使得牙签保持在\(x - z\)平面内做小振动，则系统的振动周期\(T_{1}\)为______。 (3) 给两个小球一个横向微扰，两个质点都获得向\(y\)方向的初速度，使得牙签保持方向不变，两个质点在各自保持\(x\)坐标不变，在\(y - z\)平面内做同步的小振动，则其振动周期\(T_{2}\)为______。 (4) 假设\(l\ll R\)（注意只有本小问中成立），初态两个小球静止在的位置，然后给右边的小球一个向\(y\)方向的初速度\(v_{0}\)，同时给左边的小球一个向\(x\)方向的初速度\(v_{0}\)，求解之后两个小球的坐标随时间的变化关系。请将你的结果填在下面横线上______。	[ "" ]	[ "" ]	Classical Mechanics	Physics
比较上贝氏体和下贝氏体的力学性能差异	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
冷时效和温时效在合金性能上有何差别？时效强化的原因是什么？	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
解释奥氏体化过程涉及的几个基本概念：起始晶粒度，实际晶粒度，本质晶粒度，晶粒粗化温度，A1温度，AC1温度，Ar1温度	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
试根据Johnson-Mehl方程求出在等温奥氏体化过程中，转变速率最大时对应的转变量。	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
非共析钢中先共析相的析出条件及其形态有哪些？ 2. 如何形成伪共析组织？ 3. 当形成魏氏组织后，对性能有何影响？一旦形成如何清除？	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
试述合金固溶之后的时效过程中，过饱和固溶体的脱溶特征。	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
请详细说明珠光体向奥氏体转变过程中为什么总是铁素体先消失？	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
如何提高合金的蠕变强度？	[ "" ]	[ "" ]	Metallic Materials	Materials Science
如果增大周围氧气的分压，非化学计量化合物 $\mathrm{Zn} 1+\mathrm{xO}$ 的密度将发生怎样变化？为什么？	[ "" ]	[ "" ]	Fundamentals of Materials Science	Materials Science
分析堇青石有显著的离子电导，较小的热膨胀系数的原因。	[ "" ]	[ "" ]	Fundamentals of Materials Science	Materials Science
晶界有几个自由度？	[ "" ]	[ "" ]	Fundamentals of Materials Science	Materials Science
如果增大周围氧气的分压，非化学计量化合物 $\mathrm{Fe} 1-\mathrm{xO}$ 的密度将发生怎样变化？为什么？	[ "" ]	[ "" ]	Fundamentals of Materials Science	Materials Science
空气以650m/s的超声速扰流半角$\delta=18^{circ}$度的楔形物体，激波角为51度，求激波后的流速以及激波的熵增	[ "" ]	[ "" ]	Fluid Mechanics	Physics
有一个半圆柱形的水平水槽，其两端不封死，若有一个无粘性水流（与水槽在同一竖直平面内）在不停地流入水槽，水流与地面呈$\frac{1}{2}\pi-\alpha$，求问水槽两端流出水量的比例。水密度为$\rho$，入射水流终端横截面为$A$,速度为$v$,左右两端水流横截面积分别为$A_1,A_2$,速度为$v_1,v_2$，忽略过程中的高度变化。	[ "" ]	[ "" ]	Fluid Mechanics	Physics
一颗鹅卵石被投入深度为$2\,\text{m}$的矩形河道水流中。在$1\,\text{s}$内，石头引起的涟漪被带到了下游$7\,\text{m}$米处。计算水流的流速$v$。	[ "" ]	[ "" ]	Fluid Mechanics	Physics
流量为 \(Q=1.5 \, \text{m}^3/\text{s}\)，上游压力为 \(p_1=3.5 \, \text{MPa}\)，计算将塞子保持在输水管出口处所需的力$F$（塞子直径$D_1=0.2\,\text{m}$，管道直径$D_2=0.25\,\text{m}$，水的密度为$\rho=1000\,\text{kg}/\text{m}^3$）。	[ "" ]	[ "" ]	Fluid Mechanics	Physics
背景：在先天免疫系统中，RIG-I样受体(RLR)家族蛋⽩识别胞质中的病毒RNA，触发下游的线粒体抗病毒信号蛋⽩(MAVS)。MAVS作为信号适配器，招募多个蛋⽩质形成 MAVS信号体，激活转录因⼦IRF3和NF-κB，诱导Ⅰ型和Ⅲ型⼲扰素(IFNS)以及其他抗病毒基因的表达。 1. MAVS的什么是RNA结合的核⼼区域？ 2. 在先天免疫中关键适配蛋MAVS(mitochondrialantiviral signaling protein)与细胞RNA 的互作机制中，MAVS 通过⾃⾝中部⽆序结构域与细胞 mRNA 的什么直接结合，从⽽调控 RIG-I-like receptors(RLRS)下游的抗病毒信号转导？ 3. RNA酶(RNase)处理会破坏什么的稳定性，降低IRF3和NF-κB p65等转录因⼦的什么，表明细胞RNA对MAVS信号⼩体的激活与形成⾄关重要？	[ "" ]	[ "" ]	Immunology	Biology
多年生大豆与一年生大豆在栽培上有何区别。	[ "" ]	[ "" ]	Physiology and Integrative Biology	Biology
根据光合作用划分，可以将植物区分为C3，C4和CAM三种光合途径的植物，那由于C4和CAM光和途径的光合作用率高，人们试图改造C3植物成为C4或者CAM途径，你觉得如何开展这项工作？	[ "" ]	[ "" ]	Physiology and Integrative Biology	Biology
Integrate-and-Fire 神经元的电压变化满足以下方程： \[ \tau_m \frac{dV}{dt} = E_l - V + R_m I_e \] 要构成一个完整的 Integrate-and-Fire 模型还需要添加什么？当施加一个恒定电流 \(I_e\) 足以引发动作电位时，推导出放电间隔（interspike interval）的表达式。	[ "" ]	[ "" ]	Neuroscience and Psychology	Biology
Which of the following statements about presynaptic inhibition are correct? (Select any that apply) A. It causes partial depolarization of the presynaptic membrane B. It reduces the amplitude of action potentials in the presynaptic membrane C. It decreases neurotransmitter release via the presynaptic membrane D. It reduces the amplitude of excitatory postsynaptic potentials (EPSPs) in the postsynaptic membrane E. It increases the amplitude of inhibitory postsynaptic potentials (IPSPs) in the postsynaptic membrane	[ "" ]	[ "" ]	Neuroscience and Psychology	Biology
尽管虎鲸（Orcinus orca）是广泛分布的顶级掠食者，但其捕食抹香鲸（Physeter macrocephalus）的记录极为罕见。这种行为最早由多个独立观测事件证实，例如在北大西洋和西澳近海海域，部分虎鲸群体表现出高度协作的围猎策略，甚至针对母鲸-幼鲸群体进行攻击。与捕食海狮、企鹅、鱼类或小型鲸类相比，抹香鲸具有巨大的体型、强壮的尾击防御能力与社会协作的“圆阵防御”行为。因此，虎鲸成功猎杀抹香鲸的事件通常意味着其具备什么、什么和什么的多重特征支持。这一罕见的行为或可被视作某些虎鲸族群对猎物多样化的响应策略，其演化意义可能包括：对大型猎物利用能力的提升，增强了虎鲸种群对什么变化的适应性；捕食行为的文化继承，可能导致族群间行为分化，并加速什么。	[ "" ]	[ "" ]	Ecology	Biology
白鼻综合征（WNS）由真菌Pseudogymnoascus destructans（Pd）引起，对北美蝙蝠种群造成严重威胁。研究表明，冬眠期间的活动频率可能影响蝙蝠对该病的易感性。本研究在美国东南部，设置了4类共13个冬眠场所，对三色蝙蝠的夜间活动进行了监测，变量包括冬眠场所类型（地上或地下）、Pd状态（阳性或阴性）、什么、什么和冬眠阶段。结果显示，Pd状态与冬眠场所类型并非独立预测因子，但在与其他环境变量交互时，显著影响了蝙蝠的活动模式。尤其在什么的场所中，蝙蝠夜间活动频率随气温升高和冬眠进程推进而上升更快，表明其可能通过增加活动频率来降低感染WNS的风险。然而，这些场所也可能带来如什么等适应代价？	[ "" ]	[ "" ]	Ecology	Biology
寄生螨虫具有极强的适应性和复杂性。狄斯瓦螨（Varroa destructor）原本寄生于中华蜜蜂（Apis cerana），后传播至被广泛用于商业授粉和蜂蜜生产的西方蜜蜂（Apis mellifera）后，严重危害蜜蜂健康状况，导致蜜蜂数量锐减。借助全球蜜蜂贸易，狄斯瓦螨（Varroa destructor）迅速扩散，不仅动摇了养蜂行业，还削弱了传粉生态服务功能，给生物多样性保护带来了严峻挑战。 1. 研究表明，狄斯瓦螨（Varroa destructor）在20世纪初期发生了宿主跳跃（host jump），并且可以通过外寄生的方式，通过什么穿透蜜蜂坚硬的什么，将病原体直接注入寄主。传统观点认为狄斯瓦螨仅以什么为食，新的研究证明了其需要以什么为食才能产卵，这将导致蜜蜂免疫力降低、病原体流行率显著提高。 2. 狄斯瓦螨（Varroa destructor）的生命周期分为两个不同的阶段：什么，发生在蜜蜂幼虫巢室内，由雌螨抚养幼螨；什么，通常错误地称为什么，成熟的雌螨移动并以成年蜜蜂为食。	[ "" ]	[ "" ]	Ecology	Biology
有一多肽，其分子量约为 1200 。将其多肽进行如下分析：（1）进行氨基酸成分分析可知含有等摩尔的 Leu、Orn、Phe、Pro 和 Val；（2）羧肽酶处理时，无游离氨基酸；（3）经 DNFB 处理得到 DNP－d－Orn；（4）该肽不被胰凝乳蛋白酶水解；（5）该肽部分水解得到下列三种二肽，即 Leu－Phe，Pro－Val，Val－Orn。根据以上的实验结果推导出该肽的氨基酸顺序。	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
一个多肽可还原为两个肽段，它们的序列如下：链 1 为 Ala－Cys－Phe－Pro－Lys－Arg－ Trp－Cys－Arg－Arg－Val－Cys；链 2 为 Cys－Tyr－Cys－Phe－Cys。当用嗜热菌蛋白酶消化原多肽（具有完整的二硫键）时可得下列各肽：（1）（Ala、 $\mathrm{Cys}_2 、 \mathrm{Val}$ ）；（2）（Arg、 Lys、Phe、Pro）；（3）$\left(\mathrm{Arg}_2 、 \mathrm{Cys}_2 、 \mathrm{Trp} 、 \mathrm{Tyr}\right)$ ；（4）（Cys2、Phe）。试指出在该天然多肽中二硫键的位置。	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
甘氨酸在溶剂 A 中的溶解度为在溶剂 B 中的 4 倍，苯丙氨酸在溶剂 A 中的溶解度仅为在溶剂 B 中的两倍。利用在溶剂 A 和 B 之间的逆流分溶方法将甘氨酸和苯丙氨酸分开。在起始溶液中甘氨酸含量为 100 mg ，苯丙氨酸为 81 mg 。试回答下列问题：（1）利用由 4 个分溶管组成的逆流分溶系统时，甘氨酸和苯丙氨酸各在哪一号分溶管中含量最高？（2）在这样的管中每种氨基酸各为多少毫克？	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
一种蛋白质是由相同亚基组成的四聚体。（1）对该分子说出两种可能的对称性。稳定缔合的是哪种类型的相互作用（同种或异种）？（2）假设四聚体，如血红蛋白，是由两个相同的单位（每个单位含 $\alpha$ 和 $\beta$ 两种链）组成的。问它的最高对称性是什么？	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
设有一个 $\mathrm{pH}=6.0$ 的 Ala，Val，Glu，Lys 和 Thr 的混合液，试回答在正极（＋）、负极（—）、原点以及末分开的是什么氨基酸？	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
一个十肽的氨基酸分析表明其水解液中存在下列产物： \begin{tabular}{lcccc} $\mathrm{NH}_4{ }^{+}$ & Asp & Glu & Tyr & Arg \\ Met & Pro & Lys & Ser & Phe \end{tabular} 并观察下列事实：（1）用羧肽酶 A 和 B 处理该十肽无效；（2）胰蛋白酶处理产生两个四肽和游离的 Lys；（3）梭菌蛋白酶处理产生一个四肽和一个六肽；（4）溴化氰处理产生一个八肽和一个二肽，用单字母符号表示其序列为 NP；（5）胰凝乳蛋白酶处理产生两个三肽和一个四肽， N －末端的胰凝乳蛋白酶水解肽段在中性 pH 时携带 -1净电荷，在 pH 12 时携带 -3 净电荷；（6）一轮 Edman 降解给出 PTH－丝氨酸：写出该十肽的氨基酸序列。	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
假设某蛋白质经历一个两步折叠的过程:初始结构→中间体→最终结构。已知: (a)该蛋白质的构象空间共有 $2^{100}$ 种;(b)蛋白质折叠过程中共有 $2^{60}$ 种不同的中间体;(c)其中每一种中间体都对应了 $2^{40}$ 种构象。(1) 假设蛋白质折叠过程中的每一步都是遍历这一步中所有可能的构象,并找到能量最低的,且从一个构象转变到另一个构象所需的特征时间为 ${10}^{-10}$秒 ,请估算蛋白质从初始结构开始经历上述步骤折叠到最终结构所需的总时间;(2)分别估算:第一步、第二步中,能量分别至少需要降低多少才能保证蛋白质链不会可逆的返回到前一步的结构	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
在酶活力测定中，如何保证测定的是酶反应初速度？	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
说明用含一个结晶水的固体组氨酸盐酸盐（相对分子质量 $=209.6$ ；咪唑基 $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}=6.0$ ）和 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{LKOH}$ 配制 1 L pH 6.5 的 $0.2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 组氨酸盐缓冲液的方法。	[ "" ]	[ "" ]	Biophysics and Biochemistry	Biology
近年来，乳腺癌的发生机制逐渐显示出不仅仅依赖于上皮细胞内部的遗传突变，更与组织微环境中其他细胞的相互作用密切相关。特别是 BRCA1突变携带者的乳腺组织中，除了上皮细胞明显的增殖和分化异常外，前癌性基质细胞也展示出与正常情况不同的转录组重塑现象。研究利用单细胞RNA测序、原位检测以及体内外功能实验，系统比较了 BRCA1+/mut 与非携带者乳腺样本中上皮及基质细胞的状态和相互间的信号传递。	[ "" ]	[ "" ]	Cell Biology	Biology
在肝癌中，印记基因H19（母源表达）和IGF2（父源表达）常发生“印记丢失”（LOI），导致IGF2双等位基因表达。已知H19的抑制与DNA甲基化转移酶（DNMT1）异常相关。如何证明肝癌细胞中H19的沉默是由于其启动子区超甲基化，而非转录因子缺失？若发现H19启动子区存在“部分甲基化”（即部分细胞完全甲基化，部分未甲基化），请设计实验区分这是克隆性变异还是随机表观遗传噪声。	[ "" ]	[ "" ]	Cell Biology	Biology
Albert writes 2025 numbers $a_1, \ldots, a_{2025}$ in a circle on a blackboard. Initially, each of the numbers is uniformly and independently sampled at random from the interval $[0,1]$. Then, each second, he simultaneously replaces $a_i$ with $\max \left(a_{i-1}, a_i, a_{i+1}\right)$ for all $i=1,2, \ldots, 2025$ (where $a_0=a_{2025}$ and $\left.a_{2026}=a_1\right)$. Compute the expected value of the number of distinct values remaining after 100 seconds.	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为 $p(0<p<1)$ ．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 $k$ 位密切关联者与之接触（而这 $k$ 个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为 $X(0 \leq X \leq k)$ ．（1）求一天内被感染人数 $X$ 的概率 $p(X)$ 的表达式和 $X$ 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与 $k$ 位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第 1 天开始算起，第 $n$ 天新增患者的数学期望记为 $E_{n}(n \geq 2)$ ．（1）当 $k=10, p=\frac{1}{2}$ ，求 $E_{8}$ 的值；（2）试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率 $p^{\prime}$ 满足关系式 $p^{\prime}=\ln (1+p)-\frac{2 p}{3}$ ．当 $p^{\prime}$ 取得最大值时，计算 $p^{\prime}$ 所对应的 $E_{6}{ }^{\prime}$ 和 $p$ 所对应的 $E_{6}$ 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取 $k=10)$ ．（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6, \frac{1}{3} \approx 0.3, \frac{2}{3} \approx 0.7,6^{6}=46656$ 计算结果保留整数）	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
曹冲称象是家喻户晓的历史故事：时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。” 太祖大悦，即施行焉。在桌游《三国杀》中，“称象” 是曹冲的技能：当你受到伤害后，你可以亮出牌堆顶的四张牌，然后获得其中的任意张点数之和小于或等于 13 的牌。为简化模型，我们假定牌的总数无限，每张牌的所有可能点数为 1,2,……,13，它们独立等可能出现。令随机变量 X 如下：X 为最大的整数，使得这四张牌中存在 X 张的点数之和不超过 13。例如：若抽出的四张牌的点数分别为 2,3,5,7，则此时 X = 3。试求 X 的数学期望。	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
In the coordinate plane, a closed lattice loop of length $2 n$ is a sequence of lattice points $P_0, P_1$, $P_2, \ldots, P_{2 n}$ such that $P_0$ and $P_{2 n}$ are both the origin and $P_i P_{i+1}=1$ for each $i$. A closed lattice loop of length 2026 is chosen uniformly at random from all such loops. Let $k$ be the maximum integer such that the line $\ell$ with equation $x+y=k$ passes through at least one point of the loop. Compute the expected number of indices $i$ such that $0 \leq i \leq 2025$ and $P_i$ lies on $\ell$.	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
In an $11 \times 11$ grid of cells, each pair of edge-adjacent cells is connected by a door. Karthik wants to walk a path in this grid. He can start in any cell, but he must end in the same cell he started in, and he cannot go through any door more than once (not even in opposite directions). Compute the maximum number of doors he can go through in such a path.	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
有一正$n$边形$(3\nmid n)$，初始时将每个顶点独立且等可能地标记上$0$或$1$。若某个顶点相邻的两个顶点标记的数字不同，那么它的数字在下一时刻翻转（$0$变成$1$，$1$变成$0$）。求经过足够长时间后，所有顶点上的数字都为$1$的概率。	[ "" ]	[ "" ]	Statistics and Operations Research	Math
Ben has 16 balls labeled $1,2,3, \ldots, 16$, as well as 4 indistinguishable boxes. Two balls are neighbors if their labels differ by 1 . Compute the number of ways for him to put 4 balls in each box such that each ball is in the same box as at least one of its neighbors. (The order in which the balls are placed does not matter.)	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Compute the number of ordered pairs $(m, n)$ of odd positive integers both less than $80$ such that $$ \operatorname{gcd}\left(4^m + 2^m + 1, 4^n + 2^n + 1\right) > 1 $$	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 上任意一点 $R$ 满足 $\|R F\|$ 的最小值为 1 （ $F$ 为焦点）．（1）求 $C$ 的方程；（2）过点，$P(t,-1)$ 的直线经过 $F$ 点且与物线交于 $M, ~ N$ 两点，求证：$\frac{2}{\|P F\|}=\frac{1}{\|P M\|}+\frac{1}{\|P N\|}$ ；（3）过 $F$ 作一条倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线交抛物线于 $A, ~ B$ 两点，过 $A, ~ B$ 分别作抛物线的切线．两条切线交于 $Q$ 点，过 $Q$ 任意作一条直线交抛物线于 $E, ~ H$ ，交直线 $A B$ 于点 $G$ ，则 $\|Q G\|,\|Q E\|, ~\|Q H\|$满足什么关系？	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Let $\triangle A B C$ be an equilateral triangle with side length 6 . Let $P$ be a point inside triangle $\triangle A B C$ such that $\angle B P C=120^{\circ}$. The circle with diameter $\overline{A P}$ meets the circumcircle of $\triangle A B C$ again at $X \neq A$. Given that $A X=5$, compute $X P$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
平面坐标系中，某可写作标准方程的圆锥曲线与曲线$2^x+y^2=\textcolor{BLUE}{1217}$在第一象限($x,y>0$)存在若干个交点，且交点的横纵坐标均为整数。令圆为离心率为$0$的圆锥曲线，求这个圆锥曲线的离心率的存在范围。 {\footnotesize 注：可写作标准方程的圆锥曲线性质如下：它的焦点都在坐标轴上，中心（抛物线则顶点）位于原点。}	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
设 $p$ 是一个大于 2023 的素数。记 $\mathcal{X}$ 为 $\mathbb{F}_p$ 线性空间 $\mathbb{F}_p^{2023}$ 的所有 2000 维子空间组成的集合。找出满足对任意 $V \in \mathcal{X}$, $$\sum_{W \in \mathcal{Y}} (V \cap W) = V$$ 成立的 $\mathcal{X}$ 的子集 $\mathcal{Y}$ 的最小可能元素个数	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
将正整数 $1,2, \cdots, 100$ 填入 $10 \times 10$ 方格表中，每个小方格恰好填 1 个数，要求每行从左到右 10 个数依次递减，记第 $i$ 行的 10 个数之和为 $S_i(i=1,2, \cdots, 10)$ ．设 $n \in\{1,2, \cdots, 10\}$ 满足：存在一种填法，使得 $S_1, S_2, \cdots, S_{10}$ 均大于第 $n$ 列上的 10 个数之和，求 $n$ 的最小值．	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
将自然数1,2...1024分入三个递增子列X,Y,Z（可以有空的），满足(1)每个子列的相邻两项奇偶性不同,(2)若XYZ均非空，则恰有其中一个的最小元是偶数，求满足条件的分案总数。	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Two points are selected independently and uniformly at random inside a regular hexagon. Compute the probability that a line passing through both of the points intersects a pair of opposite edges of the hexagon.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Let $n$ be a positive integer, let $v_0$ be the zero vector in $\{0, 1\}^n$, and choose $v_1 \in \{0, 1\}^n$. Define vectors $v_k \in \{0, 1\}^n$ as follows. For $k \geq 2$, work modulo 2 and let $v_k = v_{k-1} + v_{k-1}^* + v_{k-2}^$, where $(x_1, \ldots, x_n)^ = (x_2, \ldots, x_n, x_1)$. Write $\Sigma v$ for the sum of the entries of vector $v$. Find the maimum of $\sum_{k=1}^{2n} \Sigma v_k $ and for which choices of $v_1$ has the maximum been reached?	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
系列问题1：考虑曲面积分 $$\int_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}=\int_{\Sigma} \frac{x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} \sigma$$ 此处 $\Sigma$ 为曲面 $$ 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16} \quad(z \geqslant 0)$$ 利用 Gauss-Ostrogradskii 公式，计算上述曲面积分	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
A square of side length 1 is dissected into two congruent pentagons. Compute the least upper bound of the perimeter of one of these pentagons.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $n$ 个两两不同的正整数且 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 恰有 4048 个质因数．如果 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中任意多个数相乘均不是一个整数的 4049 次方，求 $n$ 的最大值．	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
evaluate $$\sum_{j=0}^{2020} \sum_{k=\lfloor j/2 \rfloor}^j \binom{2022}{2k+1} \binom{1011}{2k-j}.$$	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Compute the number of ways to arrange the numbers $1,2,3,4,5,6$, and 7 around a circle such that the product of every pair of adjacent numbers on the circle is at most 20. (Rotations and reflections count as different arrangements.)	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
设双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-y^2=1$ ，直线 $l: y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．（1）求 $m$ 的取值范围；（2）已知 $C$ 上存在异于 $A, B$ 的 $P, Q$ 两点，使得 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=t$ ．（i）当 $t=4$ 时，求 $P, Q$ 到点 $(-2 m,-m)$ 的距离（用含 $m$ 的代数式表示）；（ii）当 $t=2$ 时，记原点到直线 $P Q$ 的距离为 $d$ ，若直线 $P Q$ 经过点 $(-m, m)$ ，求 $d$ 的取值范围．	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
有一只生活在n维超立方体上的蚂蚁，每天都想着锻炼身体，它也特别有好奇心，它每天都要确定一条与之前爬行路线不同的新路线，可是它的体力有限，每天最多能爬行n条边，因此每条路线既要在它体力承受范围内，也要保证它能顺利返回家，请问在它的这种锻炼方式下，它最多能锻炼多少天？	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
数列\(\{ a_{n}\}_{n\in\mathbf{N}}\)满足\(a_{0}=\alpha\)，\(a_{1}=\beta\)，\(a_{2}=\gamma\)，且\(\forall n\geq3\)，\(a_{n - 3}\)，\(a_{n - 1}a_{n - 2}\)，\(a_{n}\)构成等差数列。若\((\alpha,\beta,\gamma)=(1,2,2)\)，求\(\{ a_{n}\}\)的通项公式。	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
已知集合 $M_n=\left\{x \in \mathrm{~N}^* \mid x \leq 2 n\right\}(n \in \mathbf{N}, n \geq 4)$ ，若存在数阵 $T=\left[\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right]$ 满足：①$\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\} \cup\left\{b_1, b_2, \cdots, b_n\right\}=M_n$ ； ②$a_k-b_k=k(k=1,2, \cdots, n)$ ．则称集合 $M_n$ 为＂好集合＂，并称数阵 $T$ 为 $M_n$ 的一个＂好数阵＂．（1）已知数阵 $T=\left[\begin{array}{llll}x & y & z & 6 \\ 7 & w & 1 & 2\end{array}\right]$ 是 $M_4$ 的一个＂好数阵＂，试写出 $x, y, z, w$ 的值；（2）若集合 $M_n$ 为＂好集合＂，求集合 $M_n$ 的＂好数阵＂必有奇数个还是偶数个（3）判断 $M_n(n=5,6)$ 是否为＂好集合＂	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
设三元函数 $f(x, y, z)$ 连续，且 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{4}} f(x, y, z) \mathrm{d} z=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ ．在积分区域 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 上求一点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，使 $S$ 在点 $P$ 处的切平面 $\pi$ 经过点 $Q_1(1,-1,-1)$ 和 $Q_2(3,0,2)$ ．	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Compute the number of ways to arrange 3 copies of each of the 26 lowercase letters of the English alphabet such that for any two distinct letters $x_1$ and $x_2$, the number of $x_2$ 's between the first and second occurrences of $x_1$ equals the number of $x_2$ 's between the second and third occurrences of $x_1$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
考虑\hat{sp}(4)_3的permutation invariant，其含有affine extension并且具有第二低的quantum dimension的有限的权的集合为 \{\omega_1,3\omega_1,\omega_1+2\omega_2,\omega_2,2\omega_2\}, 请找出这个集合中唯一存在的两种保证modular T变换下不变的permutation形式。请给出详细的推导过程和具体结论。	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
已知椭圆 \frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = \lambda, F是其左焦点，A,B是椭圆上的两个点并且 FA=5，FB=8，求直线AB的斜率k的取值范围。	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
A plane $\mathcal{P}$ intersects a rectangular prism at a hexagon which has side lengths $45,66,63,55,54$, and 77, in that order. Compute the distance from the center of the rectangular prism to $\mathcal{P}$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Right triangle $\triangle D E F$ with $\angle D=90^{\circ}$ and $\angle F=30^{\circ}$ is inscribed in equilateral triangle $\triangle A B C$ such that $D, E$, and $F$ lie on segments $\overline{B C}, \overline{C A}$, and $\overline{A B}$, respectively. Given that $B D=7$ and $D C=4$, compute $D E$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Given that $x, y$, and $z$ are positive real numbers such that $$ x^{\log _2(y z)}=2^8 \cdot 3^4, \quad y^{\log _2(z x)}=2^9 \cdot 3^6, \quad \text { and } \quad z^{\log _2(x y)}=2^5 \cdot 3^{10}, $$ compute the smallest possible value of $x y z$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Sophie is at $(0,0)$ on a coordinate grid and would like to get to $(3,3)$. If Sophie is at $(x, y)$, in a single step she can move to one of $(x+1, y),(x, y+1),(x-1, y+1)$, or $(x+1, y-1)$. She cannot revisit any points along her path, and neither her $x$-coordinate nor her $y$-coordinate can ever be less than 0 or greater than 3. Compute the number of ways for Sophie to reach $(3,3)$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
求二次型 \[f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \|i - j\| \, x_i x_j \] 的标准型.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
A parallelogram $P$ can be folded over a straight line so that the resulting shape is a regular pentagon with side length 1 . Compute the perimeter of $P$.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Compute the number of ways to pick two rectangles in a $5 \times 5$ grid of squares such that the edges of the rectangles lie on the lines of the grid and the rectangles do not overlap at their interiors, edges, or vertices. The order in which the rectangles are chosen does not matter.	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
Let $q$ be an odd prime, and let $F_q$ be the field with $q$ elements. Define permutations $\rho$, $\sigma$, and $\tau$ of $F_q$ by \[ \rho(x) = x + 1, \quad \sigma(x) = x^{q-2}, \] and \[ \tau(x) = -x^{q-2}. \] (a) Compute the group generated by permutations $\rho$ and $\sigma$. (b) Compute the group generated by permutations $\rho$ and $\tau$ .	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
设$F=\mathbb{Q}$，$E=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4},\xi_5)$，求Galois群$G=\text{Gal}(E/F)$，以及$G$的所有子群和$F$与$E$之间的对应子域。	[ "" ]	[ "" ]	Algebra and Geometry	Math
求解方程 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}(t^2+x^2+3)=2t\left(2x-\frac{t^2}{x}\right) $$	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
若$a,b,c \in \mathbb{R}$, 平面自治系统 $dx/dt=ax+by+x^3y, dy/dt=cx+y^2$具有连续的首次积分$f(x,y)=C$,且其一次近似系统的系数矩阵行列式不等于$0$，计算该系统奇点$(0,0)$所有可能的类型.	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
试用二维双层位势求解边值问题 $$ \left\{\begin{array}{l} \Delta_2 u=0, r<R,(r, \theta) \text { 为极坐标 } \\ \left.u\right\|_{r=R}=f(\theta, \varphi) \end{array}\right. $$	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
解方程 $(y+xy)dx+(y^2-x)dy=0$	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
设调和方程关于区域 $\Omega$ 的第一边值问题的 Green 函数为 $G(x, y, z ; \xi, \eta, \zeta)$ ，试把边值问题 $$ \left\{\begin{array}{l} \Delta_3 u-q(x, y, z) u=f(x, y, z),(x, y, z) \in \Omega \\ \left.u\right\|_{\partial \Omega}=\varphi \end{array}\right. $$ 化为积分方程．	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
求解下列积分方程的解核，求相应齐次方程的固有值和固有函数，当 $\lambda$ 为固有值时，列出非齐次方程有解的相容性条件， $\varphi(x)=\lambda \int_0^{2 \pi}(\sin x \sin \xi+\sin 2 x \sin 2 \xi) \varphi(\xi) \mathrm{d} \xi+f(x)$	[ "" ]	[ "" ]	Differential Equations and Dynamical Systems	Math
Consider the following Bayes Net, where we have observed that $D = +d$. ```mermaid graph TD; A --> B; A --> C; B --> C; C --> D; ``` $P(A)$ \| $+a$ \| $0.5$ \| \| $-a$ \| $0.5$ \| $P(B\|A)$ \| $+a$ \| $+b$ \| $0.5$ \| \| $+a$ \| $-b$ \| $0.5$ \| \| $-a$ \| $+b$ \| $0.2$ \| \| $-a$ \| $-b$ \| $0.8$ \| $P(C\|A,B)$ \| $+a$ \| $+b$ \| $+c$ \| $0.8$ \| \| $+a$ \| $+b$ \| $-c$ \| $0.2$ \| \| $+a$ \| $-b$ \| $+c$ \| $0.6$ \| \| $+a$ \| $-b$ \| $-c$ \| $0.4$ \| \| $-a$ \| $+b$ \| $+c$ \| $0.2$ \| \| $-a$ \| $+b$ \| $-c$ \| $0.8$ \| \| $-a$ \| $-b$ \| $+c$ \| $0.1$ \| \| $-a$ \| $-b$ \| $-c$ \| $0.9$ \| $P(D\|C)$ \| $+c$ \| $+d$ \| $0.4$ \| \| $+c$ \| $-d$ \| $0.6$ \| \| $-c$ \| $+d$ \| $0.2$ \| \| $-c$ \| $-d$ \| $0.8$ \| Instead of sampling, we now wish to use variable elimination to calculate $P(+a \| +d)$. We start with the factorized representation of the joint probability:	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
(0,0,5)(0,1,BLANK)(0,2,S)(0,3,BLANK)(0,4,BLANK)(0,5,10) (1,3,0)(1,4,0) Consider the above gridworld. An agent is currently on grid cell S, and would like to collect the rewards that lie on both sides of it. If the agent is on a numbered square, its only available action is to Exit, and when it exits it gets reward equal to the number on the square. On any other (non-numbered) square, its available actions are to move East and West. Note that North and South are never available actions. If the agent is in a square with an adjacent square downward, it does not always move successfully: when the agent is in one of these squares and takes a move action, it will only succeed with probability p. With probability 1 - p, the move action will fail and the agent will instead move downwards. If the agent is not in a square with an adjacent space below, it will always move successfully. For what range of values of $p$ in terms of $\gamma$ is $\pi_{East}$ the optimal policy?	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
You are trying to plan a road trip from city A to city B. You are given an undirected graph of roads of the entire country, together with the distance along each road between any city X and any city Y: length(X,Y) (For the rest of this question, "shortest path" is always in terms of length, not number of edges). You would like to run a search algorithm to find the shortest way to get from A to B (assume no ties). Suppose C is the capital, and thus you know the shortest paths from city C to every other city, and you would like to be able to use this information. Let pathopt(X→Y) denote the shortest path from X to Y and let cost(X,Y) denote the cost of the shortest path between cities X and Y. Let [path(X→Y),path(Y→Z)] denote the concatenation. Suppose the distance along any edge is 1. You decide to initialize the queue with A, plus a list of all cities X, with path(A→X)=[pathopt(A→C),pathopt(C→X)]. You run BFS with this initial queue (sorted in order of path length). Which of the following is correct? (Select all that apply) A You always expand the exact same nodes as you would have if you ran standard BFS. B You might expand a different set of nodes, but still find the shortest path. C You might expand a different set of nodes, and find the sub - optimal path.	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
We define the value of public information $V_{A}^{\text{Pub}}(X)$ of a random variable $X$ to a player A as the difference in player A's expected utility after the outcome of $X$ becomes a public information, such that everyone has access to the outcome of $X$ and is aware that all other players also have access to $X$. Let $a = V_{Alice}^{\text{Pub}}(E)$ be the value of public information of $E$ to Alice. Suppose David will publicly announce the outcome of $E$ if anyone (either Alice or Bob) pays him $b$ dollars ($b>0$), and will make no announcement otherwise. Which of the following statements are True? A The value of public information of $E$ to Bob is $V_{Bob}^{\text{Pub}}(E)=-a$. B If $b < a$, then Alice should pay David $b$ dollars. C If $b>a$, then Bob should pay David $b$ dollars. D If $b < -a$, then Bob should pay David $b$ dollars. E If $b > -a$, then Alice should pay David $b$ dollars. F There exists some value $b>0$ such that both Alice and Bob should pay David $b$ dollars. G There exists some value $b > 0$ such that neither Alice nor Bob should pay David $b$ dollars.	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
Soft-Margin Linear SVM. Given the following dataset in 1-d space (Figure 1), which consists of 4 positive data points {0,1,2,3} and 3 negative data points {−3,−2,−1}. Suppose that we want to learn a soft-margin linear SVM for this data set. Remember that the soft-margin linear SVM can be formalized as the following constrained quadratic optimization problem. In this formulation, C is the regularization parameter, which balances the size of margin (i.e., smaller $w^tw$) vs. the violation of the margin (i.e., smaller $\sum_{i=1}^{m}\epsilon_i$). $$\begin{align} &\underset{\{w,b\}}{\text{argmin}}\ \frac{1}{2}w^tw+C\sum_{i=1}^{m}\epsilon_i\\ &\text{Subject to } : y_i(w^tx_i+b)\geq1-\epsilon_i\\ &\epsilon_i\geq0\ \forall i \end{align}$$ Figure 1: Dataset (1D Visualization) ---[−]---[−]---[−]---[+]---[+]---[+]---[+]---> -3 -2 -1 0 1 2 3 Key: [−] = Negative data points [+] = Positive data points if C=0, which means that we only care the size of the margin, how manysupport vectors do we have?	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
Consider running a single iteration of AdaBoost on three sample points, starting with uniform weights on the sample points. All the ground - truth labels and predictions are either +1 or -1. In the table below, some values have been omitted. What is $X_1$'s updated weight? \| True Label \| Classifier Prediction \| Initial Weight \| Updated Weight \| \| ---- \| ---- \| ---- \| ---- \| \| $X_1$ \| -1 \| -1 \| ? \| \| $X_2$ \| ? \| +1 \| $\frac{1}{3}$ \| $\frac{\sqrt{2}}{3}$ \| \| $X_3$ \| ? \| ? \| $\frac{1}{3}$ \| $\frac{\sqrt{2}}{6}$ \|	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science
Decipher the following cipher text: Yaef, ylw foz tb emse mvq wuwqi ohfwiao hpslg af Rcwshx ozd Nujvavo awra rsjx htaa bt efr cze rtxi – jxgfs nb Mmyaumtr Kjqwmsdy nvi snxf tif owenx hte sqwwl zfmsf qx edksmdl owsobbs. Svvhi zbg penbm, xzxfq cnv gi wosz lrax xzhishg wk vwoweiao tv kndblrujrlbbs tum Refbtqsgw. Gyl B qanfqiij bh mly bmi ehfq nrkjwktfk atinr lh gfagm ylw ycxlbenry xlbrraxpq: Mvq bnang lacggub wyfgwzg gpwsmzv fhr Ufraysetb – bmel xqanbung hkcpupbnsf, tbp tum xxjnqfuem tj khquegg tj wosdy uqxxgkwoay musua bqcraxejbzk aeqxmfz hteemkvgf Tips: - The cipher text is encoded using a Vigenère cipher. - Key: manifesto - Key mode: repeating Please maintain case and punctuation and output the deciphered text in a \boxed{}.	[ "" ]	[ "" ]	Artificial Intelligence	Computer Science

有一个带正电荷且质量为M的小球被一根线悬空挂起，初始时自然下垂。另外一个带正电的小球从无限远处缓慢移动到前一个小球的初始位置。由静电作用，前一个小球将被推开，并相较于初始位置高了h。求移动过程中做的功。

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Classical Mechanics

Physics

在光滑水平桌面上，$N$个相同的光滑匀质小球均匀排列成一个四分之一圆弧，总质量为$M$。一个质量为$m$的光滑匀质球形猪（与圆弧上小球大小相同）从左边以速度$v_{0}$射向最边上的小球，速度方向与四分之一圆弧边缘的切线平行。假设所有碰撞都是完全弹性的，在适当初始条件下，球形猪与圆弧上所有$N$个小球依次发生弹性碰撞后最终速度偏转$90^{\circ}$径直离去。为方便起见，不考虑圆弧上$N$个小球彼此之间可能的碰撞。已知$e = \lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}$。 (1)$N$很大，直接研究$N \to \infty$的极限情况，为发生题中要求的碰撞情形，$M/m$需要满足什么条件？ (2)$M$取满足第一问条件的最小值时，球形猪离开四分之一圆弧的速度是多少？（依旧认为$N \to \infty$） (3)若在球形猪撞上第一个小球前，半路出现一只相同大小的球形匀质光滑拦路虎，拦路虎初始静止，等球形猪来撞。则拦路虎的质量$m_{T}$需要满足什么条件才有可能在合适的碰撞角度下凭一己之力将球形猪的速度方向改变$90^{\circ}$且散射后自身的速度大小比球形猪要小？

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Classical Mechanics

Physics

这是一个著名的机械悖论装置：两根轨道形成角度 $2 \beta$ ，固定在一个倾斜平面内，此平面与水平方向的夹角为 $\theta$ ．现在其上对称地放置一个由两个相同的半顶角为 $\alpha$ 的匀质圆锥体底对底结合形成的刚体，则有时可以发现，刚体将向上坡方向滚去．已知刚体的最大半径为 $R$ ，重力加速度 $g$ ，假设刚体与轨道间不发生相对滑动．记刚体与两轨道的接触点为 P ，两个 P 点连线的中点为 $\mathrm{P}^{\prime}$ ，以轨道顶点为原点建立直角坐标系 $x y z$ ，这里 $x, y$分别是水平和竖直方向．记 $h$ 为 $\mathrm{P}_{,} \mathrm{P}^{\prime}$ 点的 $y$ 坐标，$q$ 为 $\mathrm{P}^{\prime}$ 点到坐标．（1）基本性质．（i）求 P 点到刚体轴线的距离 $r$ ，表示为 $q$ 的函数．并求刚体不掉下轨道的前提下，$q$ 的最大值 $q_{\max }$ ．（ii）若希望刚体能向上坡方向自发滚去，$\alpha, \beta, \theta$ 应满足何条件？下面均假设此条件满足．（iii）将刚体在轨道顶角 $(x=0)$ 处释放，求刚体滚到 $q=q_{\max } / 2$ 时绕其自转轴转过的角度 $\Delta \varphi$ ．（2）动力学问题．（i）写出刚体的动能 $K$ ，用刚体质心的 $x, \dot{x}$ 表示．（ii）已知 $\theta=\pi / 6$ ．在刚体刚好可以自发滚上坡的条件下，在 $q=0$ 处给予刚体初始动能 $K$ ，求刚体滚到 $q=q_{\max } / 2$处所需的时间．

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Classical Mechanics

Physics

质量为$m$的质点在指向圆周上某点的有心吸引力$f$作用下作圆周运动，求解该力$f$与距离$r$的关系式（假设吸引力力心在坐标原点，圆周运动半径为$R$，圆心在$(x=R, y=0)$处，角动量$l$为常数）。

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Classical Mechanics

Physics

转子发动机（Wankel Engine）是由德国人菲加士•汪克尔（Felix Wankel）所发明。他在总结前人工作的基础上，解决了一些关键技术问题，成功研制了第一台转子发动机。转子发动机采用三角转子旋转来控制压缩和排放，与传统的往复活塞式发动机的直线运动迴然不同。转子发动机的运动特点是：三角转子的中心绕输出轴中心公转的同时，三角转子本身又绕其中心自转。这样使得三角转子顶点的运动轨迹（即汽缸壁的形状）似＂ 8 ＂字形。三角转子把汽缸分成三个独立空间，三个空间各自先后完成进气，压缩，做功和排气，三角转子自转一周，发动机点火做功三次。（1）转子发动机中心齿轮固定在缸体上，其中心为 P ；正三角形 ABC 中心为 0 ，同样也是内齿圈的中心。内齿圈与中心齿轮啮合于 $Q$ ，转子中心半径 $3 r$ 圆柱体内壁只有与中心齿轮接触部分为内齿圈，其余部分光滑。圆弧 AB 圆心为 C ；圆弧 BC 圆心为 A ；圆弧 AC 圆心为 $\mathrm{B} ; \mathrm{ABC}$ 三点与缸体外壳接触点密封良好且无相互作用力。传动轴顶部圆柱体半径略小于 $3 r$ ，与转子接触点保持光滑，中心齿轮与传动轴不接触。设 $\mathrm{AO}=a, \mathrm{PQ}=$ $20 \mathrm{P}=2 r$ 。（1．1）设 $\theta$ 为 OP 相对 $y$ 轴转过的角度，$\theta=0$ 时 $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 均在 $y$ 轴上。以 $\theta$ 为参数，在直角坐标系下，写出A点运动轨迹的参数方程 $x(\theta), y(\theta)$ ，此即缸体内壁的方程。（1．2）设缸体内壁深（即转子的高）为 $d$ ，工作室 AB 容积 $V(\theta)$ 与角度 $\theta$ 的关系为 $$ V(\theta)=\pi r^2 d-\frac{\pi a^2 d}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2} a^2 d-\frac{9 r a d}{4} \sin \left(\frac{2 \theta}{3}\right)-\frac{3 \sqrt{3} \mathrm{rad}}{4} \cos \left(\frac{2 \theta}{3}\right) $$ 根据上述表达式，给出 $V$ 的极大值 $V_{+}$，极小值 $V_{-}$，以及对应的 $\theta$ 的值。（1．3）设工作室 AB 内气体压强 $P=P(\theta)$ 。在转子匀速转动时，求出传动轴上的外力矩 $M=$ $M(\theta)$ 。答案可含 $P(\theta+\varphi)$ ，其中 $\varphi$ 为任意常数。注意一共有三个工作室。（2）气缸中燃料X燃烧的热化学方程式为 $$ t_1 X(g)+t_2 O_2(g)=t_3 \mathrm{CO}_2(g)+t_4 \mathrm{H}_2 O(g) $$ $$ \Delta H=-H_0(\mathrm{~J} / \mathrm{mol}) $$ 其中焓 $H=U+P V, U$ 为内能，负号表示反应放热。本题中 $H_0>0$ 可近似视为常数。设参数 $\mu=\frac{t_3+t_4}{t_1+t_2}, h=\frac{H_0}{t_1+t_2}$ 。进气口，排气口，点火器坐标分别为 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{1}{2} a-r\right),\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a,-\frac{1}{2} a+\right.$ $r),\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a, \frac{1}{2} a-r\right)$ 。已知进气口处气体压强为 $P_1$ ，出气口处气体压强为 $P_0$ 。进入气缸的气体均为 $t_1: t_2$ 的温度为 $T_0$ 的 $X-O_2$ 混合气体，等压摩尔热容 $C_{v, m}=\alpha R$ 。排出的气体均为 $t_3: t_4$ 的 $\mathrm{CO}_2-\mathrm{H}_2 \mathrm{O}(\mathrm{g})$ 混合气体，等压摩尔热容 $C_{v, m}=\beta R$ 。全过程中水保持气态，所有气体均为理想气体。对于 $A B$ 工作室，循环分为如下几个部分：步骤 1：$\theta=-5 \pi / 2$ ，关闭排气口，打开进气口，工作室内气压瞬间变为 $P_1$ ，此时温度分布不均匀；步骤 2：$\theta=-\pi$ ，关闭进气口，工作室内气体已达热力学平衡，此时温度已均匀分布，然后气体绝热压缩；步骤 3：$\theta=\pi / 2$ ，点火，发生反应可视为瞬时完成，反应前后焓不变，然后气体绝热膨胀；步骤 4：$\theta=2 \pi$ ，打开排气口，工作室内气压瞬间变为 $P_0$ ，可视作气体瞬间绝热膨胀；步骤 5：$\theta=7 \pi / 2$ ，关闭排气口，打开进气口，即回到步骤1。参数：$\mu=0.937500, h=284.3750 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, P_0=101325.0 \mathrm{~Pa}, P_1=70000 \mathrm{~Pa}, \alpha=2.53125$ ， $$ \beta=2.76667, V_{+}=900.000 \mathrm{~mL}, V_{-}=200.000 \mathrm{~mL}, T_0=320.000 \mathrm{~K} . $$ 本问答案均保留 6 位有效数字。（2．1）设 $\theta=-5 \pi / 2$ 时工作室 AB 内有摩尔数为 $n_f$（未知），温度为 $T_f$（未知）的 $t_3: t_4$ 的 $\mathrm{CO}_2-$ $\mathrm{H}_2 \mathrm{O}(g)$ 混合气体，$\theta=-5 \pi / 2$ 到 $\theta=-\pi$ 过程中共有 $n_1=0.0163735 \mathrm{~mol}$ 混合燃气进入工作室 AB ，且 $\theta=-\pi$ 时工作室内气体温度 $T_1$ 。请利用热力学第一定律求出 $n_f$ 和 $T_1$ 。设 $\theta=-\pi$ 时，混合气体满足 $C_{v, m}=\gamma R$ ，求 $\gamma$ 的表达式，用 $\alpha, \beta, \mu, h, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, n_1, T_0$ 表示，并代入数值计算 $\gamma$ 的值。（2．2）请求出 $\theta=\pi / 2$ 点火后气体的温度 $T_2$ ，压强 $P_2$ 表达式，用 $\alpha, \beta, \mu, h, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, n_1, T_0$ ，表示，并代入数值计算 $P_2$ 的值。（2．3）设 $\theta=7 \pi / 2$ 循环结束时，工作室内气体温度仍为 $T_f$ ，求 $n_1$ 满足的方程。此时由于 $T_2, P_2, n_f$ 与 $n_1$ 关系已知，因此可直接用 $T_2, P_0, P_1, P_2, n_f, \alpha, \beta$ 表示。（2．4）求工作室 AB 内气体压强 $P=P(\theta)$ ，用 $\alpha, \beta, \gamma, \theta, V_{+}, V_{-}, P_0, P_1, P_2$ 表示。

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Classical Mechanics

Physics

本题考虑小球在一类特别的曲面内壁的运动特征，即旋转曲面．对于函数 $\rho(z)$ ，将其函数绕 $z$ 轴旋转一周，即可得到一个旋转曲面，我们称 $\rho(z)$ 为此曲面的曲面方程．考虑质量 $m$ 的小球在这样的光滑曲面上的运动，$z$ 轴方向坚直向上，已知重力加速度 $g$ ，约定 $z \geq 0$ ，假设小球不会离开曲面内壁．（1）曲面运动．考虑 $\rho(z)=z \tan \theta$ 给出的曲面，这里 $0<\theta<\pi / 2$ 是一个常量．小球在曲面内壁做圆周运动．（i）若小球位于 $z=h_0$ 处，求圆周运动速率 $v_0$ ．（ii）假如某时刻小球速度突然增大到 $\sqrt{1+\alpha} v, \alpha>0$ 而方向不变，求小球能到达的最大高度 $h^{\prime}$ ．假设小球不会离开锥面内壁。（iii）当 $\alpha$ 很小时，求小球 $z$ 方向运动的周期．（2）一般曲面．现在考虑一般的光滑曲面方程 $\rho(z)$ ．记 $\rho(0)=\rho_0>0$ ．（i）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的速度均为 $v_0$ ．（ii）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的角速度均为 $\omega_0$ ．（iii）求曲面方程，使得所有 $z$ 处的圆周运动的角动量均为 $L_0$ ．此曲面的高度最高为多少？（iv）考虑上问求得的这样一个曲面．对其上圆周运动的粒子给予一个过轴线的竖直平面内，且沿曲面切线（即旋转曲面的母线切线方向）的速度微扰，判断粒子轨道在微扰下的稳定性．

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Classical Mechanics

Physics

一个半径为R质量为M的星球，在它的表面缓慢地挖出一个宽度为d的窄沟壑，一直向下直到将星球平分为两半，如果挖出来的土被均匀地堆在了星球表面，请从工程所耗的功的角度，求出需要多大的力才能维持这条“沟壑”不坍塌?

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Classical Mechanics

Physics

台球桌与台球摩擦系数$\mu$ ，台球为匀质实心弹性球，桌面边缘简化为比球心高的竖直面，碰撞前台球以$v_0$ 速度垂直于边缘纯滚。 - **(1)**：桌面弹性且光滑，求台球稳定后速度大小$v_1$ 。 - **(2)**：桌面弹性且有摩擦系数$\mu$ ，求台球飞起方向与$x$轴夹角。 - **(3)**：台球与桌面竖直方向碰撞恢复系数$e = 0$ ，求台球稳定后速度大小$v_2$ 。

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Classical Mechanics

Physics

为了把煤块磨成火力发电所需的煤粉，常用的机械是球磨机，其主要部分是一个圆筒，里面装有很多小钢球，圆筒转动带动钢球，使钢球被抛起，砸到圆筒底部的煤块上，把煤块砸碎从而生产出煤粉。记圆筒半径为 $R$ ，转动角速度恒定且为 $\omega$ 。（1）设圆筒内壁完全粗糙，问 $\omega$ 至少为何值才能使紧贴内壁的钢球能随着圆筒转动而始终不脱离圆筒壁；将这个 $\omega$ 值记为 $\omega_s$ ；（2）然而，如果以 $\omega_s$ 转动，钢球不能够被有效抛出，磨煤效果不好，要达到最理想的效果，应使得钢球被抛出后的轨道最高点到落地点的高度差取最大值，考虑到这一点，请计算最理想状态下圆筒角速度 $\omega_g$ ；（3）用皮带传动的方法牵引球磨机圆筒转动，皮带质量线密度为 $\rho$ ，两直边上分别有张力 $F_1$ 和 $F_2$ ，并记 $F_0=\frac{F_1+F_2}{2}$ ，已知工作状态下 $F_0$ 是固定的常量。假定球磨机圆筒外壁足够粗糙，而主动轮外壁与皮带的静摩擦系数为 $\mu$ ，皮带包住主动轮外壁的圆心角为 $\theta_0$ ，为避免打滑，又要使主动轮输出的功率最大，问皮带的最佳速度 $v_0$ 是多少。

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Classical Mechanics

Physics

长$l$质量为$m$的刚性杆AB水平放在半径$r$的固定半圆柱面上做无滑动摆动。在静平衡时AB杆质心在圆柱面顶点，以接触点与圆心连线和平衡位置与圆心连线的张角$\theta$为变量，求摆动微分方程（不需要做任何近似)

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Classical Mechanics

Physics

1米高的桌面上盘着一条1米长的绳索，让绳索从一端开始从桌子上掉落，拽着越来越多的绳子往下掉，忽略一切摩擦，求经过多长时间这条绳索完全掉在地上?

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Classical Mechanics

Physics

一根均匀的柱子（长度2L，质量为M）横放在地上，可以绕其中点水平旋转，有两个人（各自质量为m）站在柱子两端，为了使他们能通过一次同时的斜向跳跃，让柱子旋转，由此互换两人在柱子上的位置，求问柱子和人的质量应满足什么条件。

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Classical Mechanics

Physics

太阳系中均匀分布的尘埃会对行星施加一额外的引力，其表达式为\[ \mathbf F = -mC\mathbf r \]，其中 $ m $ 为行星质量，$ C $ 是与引力常数和尘埃密度成正比的常数，$ \mathbf r $ 为太阳指向行星的径矢（两者均视为质点）。该引力远小于太阳与行星之间的直接引力。计算行星在此复合力场中作半径为 $ r_0 $ 的圆周运动的周期$\tau$（$ \tau_0 = 2\pi r_0^{3/2} \sqrt{m/k} $ 为无微扰势时的圆周运动周期）。

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Classical Mechanics

Physics

在一个半径为$R$的光滑的固定的碗里，有一根长度为$l$的轻质牙签，牙签两头固定有质量为$m$的光滑小球。开始的时候静止在最低点，牙签沿着$x$方向。 (1) 回复力（或力矩）、能量、动力学微分方程的判定方法是判定简谐振动常见方法，如果判定某系统回复力（或力矩）为$F = - kx$；或者动、势能表达式为$E_{k}+E_{p}=1/2m\dot{x}^{2}+1/2kx^{2}=$常量；或者算得其动力学微分方程为$\ddot{x}+(k/m)x = 0$，其中$m$为系统等效质量（或转动惯量），$x$为坐标（或角度），$\dot{x}$为速度（或角速度），$\ddot{x}$为加速度（或角加速度），都可以判定系统做简谐振动。其周期为______； (2) 给两个小球一个切向微扰，使得牙签保持在$x - z$平面内做小振动，则系统的振动周期$T_{1}$为______。 (3) 给两个小球一个横向微扰，两个质点都获得向$y$方向的初速度，使得牙签保持方向不变，两个质点在各自保持$x$坐标不变，在$y - z$平面内做同步的小振动，则其振动周期$T_{2}$为______。 (4) 假设$l\ll R$（注意只有本小问中成立），初态两个小球静止在的位置，然后给右边的小球一个向$y$方向的初速度$v_{0}$，同时给左边的小球一个向$x$方向的初速度$v_{0}$，求解之后两个小球的坐标随时间的变化关系。请将你的结果填在下面横线上______。

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Classical Mechanics

Physics

比较上贝氏体和下贝氏体的力学性能差异

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Metallic Materials

Materials Science

冷时效和温时效在合金性能上有何差别？时效强化的原因是什么？

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Metallic Materials

Materials Science

解释奥氏体化过程涉及的几个基本概念：起始晶粒度，实际晶粒度，本质晶粒度，晶粒粗化温度，A1温度，AC1温度，Ar1温度

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Metallic Materials

Materials Science

试根据Johnson-Mehl方程求出在等温奥氏体化过程中，转变速率最大时对应的转变量。

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Metallic Materials

Materials Science

非共析钢中先共析相的析出条件及其形态有哪些？ 2. 如何形成伪共析组织？ 3. 当形成魏氏组织后，对性能有何影响？一旦形成如何清除？

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Metallic Materials

Materials Science

试述合金固溶之后的时效过程中，过饱和固溶体的脱溶特征。

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Metallic Materials

Materials Science

请详细说明珠光体向奥氏体转变过程中为什么总是铁素体先消失？

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Metallic Materials

Materials Science

如何提高合金的蠕变强度？

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Metallic Materials

Materials Science

如果增大周围氧气的分压，非化学计量化合物 $\mathrm{Zn} 1+\mathrm{xO}$ 的密度将发生怎样变化？为什么？

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Fundamentals of Materials Science

Materials Science

分析堇青石有显著的离子电导，较小的热膨胀系数的原因。

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Fundamentals of Materials Science

Materials Science

晶界有几个自由度？

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Fundamentals of Materials Science

Materials Science

如果增大周围氧气的分压，非化学计量化合物 $\mathrm{Fe} 1-\mathrm{xO}$ 的密度将发生怎样变化？为什么？

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Fundamentals of Materials Science

Materials Science

空气以650m/s的超声速扰流半角$\delta=18^{circ}$度的楔形物体，激波角为51度，求激波后的流速以及激波的熵增

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Fluid Mechanics

Physics

有一个半圆柱形的水平水槽，其两端不封死，若有一个无粘性水流（与水槽在同一竖直平面内）在不停地流入水槽，水流与地面呈$\frac{1}{2}\pi-\alpha$，求问水槽两端流出水量的比例。水密度为$\rho$，入射水流终端横截面为$A$,速度为$v$,左右两端水流横截面积分别为$A_1,A_2$,速度为$v_1,v_2$，忽略过程中的高度变化。

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Fluid Mechanics

Physics

一颗鹅卵石被投入深度为$2\,\text{m}$的矩形河道水流中。在$1\,\text{s}$内，石头引起的涟漪被带到了下游$7\,\text{m}$米处。计算水流的流速$v$。

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Fluid Mechanics

Physics

流量为 $Q=1.5 \, \text{m}^3/\text{s}$，上游压力为 $p_1=3.5 \, \text{MPa}$，计算将塞子保持在输水管出口处所需的力$F$（塞子直径$D_1=0.2\,\text{m}$，管道直径$D_2=0.25\,\text{m}$，水的密度为$\rho=1000\,\text{kg}/\text{m}^3$）。

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Fluid Mechanics

Physics

背景：在先天免疫系统中，RIG-I样受体(RLR)家族蛋⽩识别胞质中的病毒RNA，触发下游的线粒体抗病毒信号蛋⽩(MAVS)。MAVS作为信号适配器，招募多个蛋⽩质形成 MAVS信号体，激活转录因⼦IRF3和NF-κB，诱导Ⅰ型和Ⅲ型⼲扰素(IFNS)以及其他抗病毒基因的表达。 1. MAVS的什么是RNA结合的核⼼区域？ 2. 在先天免疫中关键适配蛋MAVS(mitochondrialantiviral signaling protein)与细胞RNA 的互作机制中，MAVS 通过⾃⾝中部⽆序结构域与细胞 mRNA 的什么直接结合，从⽽调控 RIG-I-like receptors(RLRS)下游的抗病毒信号转导？ 3. RNA酶(RNase)处理会破坏什么的稳定性，降低IRF3和NF-κB p65等转录因⼦的什么，表明细胞RNA对MAVS信号⼩体的激活与形成⾄关重要？

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Immunology

Biology

多年生大豆与一年生大豆在栽培上有何区别。

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Physiology and Integrative Biology

Biology

根据光合作用划分，可以将植物区分为C3，C4和CAM三种光合途径的植物，那由于C4和CAM光和途径的光合作用率高，人们试图改造C3植物成为C4或者CAM途径，你觉得如何开展这项工作？

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Physiology and Integrative Biology

Biology

**Integrate-and-Fire** 神经元的电压变化满足以下方程： \[ \tau_m \frac{dV}{dt} = E_l - V + R_m I_e \] 要构成一个完整的 **Integrate-and-Fire** 模型还需要添加什么？当施加一个恒定电流 $I_e$ 足以引发动作电位时，推导出放电间隔（*interspike interval*）的表达式。

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Neuroscience and Psychology

Biology

Which of the following statements about presynaptic inhibition are correct? (Select any that apply) A. It causes partial depolarization of the presynaptic membrane B. It reduces the amplitude of action potentials in the presynaptic membrane C. It decreases neurotransmitter release via the presynaptic membrane D. It reduces the amplitude of excitatory postsynaptic potentials (EPSPs) in the postsynaptic membrane E. It increases the amplitude of inhibitory postsynaptic potentials (IPSPs) in the postsynaptic membrane

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Neuroscience and Psychology

Biology

尽管虎鲸（Orcinus orca）是广泛分布的顶级掠食者，但其捕食抹香鲸（Physeter macrocephalus）的记录极为罕见。这种行为最早由多个独立观测事件证实，例如在北大西洋和西澳近海海域，部分虎鲸群体表现出高度协作的围猎策略，甚至针对母鲸-幼鲸群体进行攻击。与捕食海狮、企鹅、鱼类或小型鲸类相比，抹香鲸具有巨大的体型、强壮的尾击防御能力与社会协作的“圆阵防御”行为。因此，虎鲸成功猎杀抹香鲸的事件通常意味着其具备什么、什么和什么的多重特征支持。这一罕见的行为或可被视作某些虎鲸族群对猎物多样化的响应策略，其演化意义可能包括：对大型猎物利用能力的提升，增强了虎鲸种群对什么变化的适应性；捕食行为的文化继承，可能导致族群间行为分化，并加速什么。

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Ecology

Biology

白鼻综合征（WNS）由真菌Pseudogymnoascus destructans（Pd）引起，对北美蝙蝠种群造成严重威胁。研究表明，冬眠期间的活动频率可能影响蝙蝠对该病的易感性。本研究在美国东南部，设置了4类共13个冬眠场所，对三色蝙蝠的夜间活动进行了监测，变量包括冬眠场所类型（地上或地下）、Pd状态（阳性或阴性）、什么、什么和冬眠阶段。结果显示，Pd状态与冬眠场所类型并非独立预测因子，但在与其他环境变量交互时，显著影响了蝙蝠的活动模式。尤其在什么的场所中，蝙蝠夜间活动频率随气温升高和冬眠进程推进而上升更快，表明其可能通过增加活动频率来降低感染WNS的风险。然而，这些场所也可能带来如什么等适应代价？

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Ecology

Biology

寄生螨虫具有极强的适应性和复杂性。狄斯瓦螨（Varroa destructor）原本寄生于中华蜜蜂（Apis cerana），后传播至被广泛用于商业授粉和蜂蜜生产的西方蜜蜂（Apis mellifera）后，严重危害蜜蜂健康状况，导致蜜蜂数量锐减。借助全球蜜蜂贸易，狄斯瓦螨（Varroa destructor）迅速扩散，不仅动摇了养蜂行业，还削弱了传粉生态服务功能，给生物多样性保护带来了严峻挑战。 1. 研究表明，狄斯瓦螨（Varroa destructor）在20世纪初期发生了宿主跳跃（host jump），并且可以通过外寄生的方式，通过什么穿透蜜蜂坚硬的什么，将病原体直接注入寄主。传统观点认为狄斯瓦螨仅以什么为食，新的研究证明了其需要以什么为食才能产卵，这将导致蜜蜂免疫力降低、病原体流行率显著提高。 2. 狄斯瓦螨（Varroa destructor）的生命周期分为两个不同的阶段：什么，发生在蜜蜂幼虫巢室内，由雌螨抚养幼螨；什么，通常错误地称为什么，成熟的雌螨移动并以成年蜜蜂为食。

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Ecology

Biology

有一多肽，其分子量约为 1200 。将其多肽进行如下分析：（1）进行氨基酸成分分析可知含有等摩尔的 Leu、Orn、Phe、Pro 和 Val；（2）羧肽酶处理时，无游离氨基酸；（3）经 DNFB 处理得到 DNP－d－Orn；（4）该肽不被胰凝乳蛋白酶水解；（5）该肽部分水解得到下列三种二肽，即 Leu－Phe，Pro－Val，Val－Orn。根据以上的实验结果推导出该肽的氨基酸顺序。

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Biophysics and Biochemistry

Biology

一个多肽可还原为两个肽段，它们的序列如下：链 1 为 Ala－Cys－Phe－Pro－Lys－Arg－ Trp－Cys－Arg－Arg－Val－Cys；链 2 为 Cys－Tyr－Cys－Phe－Cys。当用嗜热菌蛋白酶消化原多肽（具有完整的二硫键）时可得下列各肽：（1）（Ala、 $\mathrm{Cys}_2 、 \mathrm{Val}$ ）；（2）（Arg、 Lys、Phe、Pro）；（3）$\left(\mathrm{Arg}_2 、 \mathrm{Cys}_2 、 \mathrm{Trp} 、 \mathrm{Tyr}\right)$ ；（4）（Cys2、Phe）。试指出在该天然多肽中二硫键的位置。

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Biophysics and Biochemistry

Biology

甘氨酸在溶剂 A 中的溶解度为在溶剂 B 中的 4 倍，苯丙氨酸在溶剂 A 中的溶解度仅为在溶剂 B 中的两倍。利用在溶剂 A 和 B 之间的逆流分溶方法将甘氨酸和苯丙氨酸分开。在起始溶液中甘氨酸含量为 100 mg ，苯丙氨酸为 81 mg 。试回答下列问题：（1）利用由 4 个分溶管组成的逆流分溶系统时，甘氨酸和苯丙氨酸各在哪一号分溶管中含量最高？（2）在这样的管中每种氨基酸各为多少毫克？

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Biophysics and Biochemistry

Biology

一种蛋白质是由相同亚基组成的四聚体。（1）对该分子说出两种可能的对称性。稳定缔合的是哪种类型的相互作用（同种或异种）？（2）假设四聚体，如血红蛋白，是由两个相同的单位（每个单位含 $\alpha$ 和 $\beta$ 两种链）组成的。问它的最高对称性是什么？

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Biophysics and Biochemistry

Biology

设有一个 $\mathrm{pH}=6.0$ 的 Ala，Val，Glu，Lys 和 Thr 的混合液，试回答在正极（＋）、负极（—）、原点以及末分开的是什么氨基酸？

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Biophysics and Biochemistry

Biology

一个十肽的氨基酸分析表明其水解液中存在下列产物： \begin{tabular}{lcccc} $\mathrm{NH}_4{ }^{+}$ & Asp & Glu & Tyr & Arg \\ Met & Pro & Lys & Ser & Phe \end{tabular} 并观察下列事实：（1）用羧肽酶 A 和 B 处理该十肽无效；（2）胰蛋白酶处理产生两个四肽和游离的 Lys；（3）梭菌蛋白酶处理产生一个四肽和一个六肽；（4）溴化氰处理产生一个八肽和一个二肽，用单字母符号表示其序列为 NP；（5）胰凝乳蛋白酶处理产生两个三肽和一个四肽， N －末端的胰凝乳蛋白酶水解肽段在中性 pH 时携带 -1净电荷，在 pH 12 时携带 -3 净电荷；（6）一轮 Edman 降解给出 PTH－丝氨酸：写出该十肽的氨基酸序列。

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Biophysics and Biochemistry

Biology

假设某蛋白质经历一个两步折叠的过程:初始结构→中间体→最终结构。已知: (a)该蛋白质的构象空间共有 $2^{100}$ 种;(b)蛋白质折叠过程中共有 $2^{60}$ 种不同的中间体;(c)其中每一种中间体都对应了 $2^{40}$ 种构象。(1) 假设蛋白质折叠过程中的每一步都是遍历这一步中所有可能的构象,并找到能量最低的,且从一个构象转变到另一个构象所需的特征时间为 ${10}^{-10}$秒 ,请估算蛋白质从初始结构开始经历上述步骤折叠到最终结构所需的总时间;(2)分别估算:第一步、第二步中,能量分别至少需要降低多少才能保证蛋白质链不会可逆的返回到前一步的结构

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Biophysics and Biochemistry

Biology

在酶活力测定中，如何保证测定的是酶反应初速度？

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Biophysics and Biochemistry

Biology

说明用含一个结晶水的固体组氨酸盐酸盐（相对分子质量 $=209.6$ ；咪唑基 $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}=6.0$ ）和 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{LKOH}$ 配制 1 L pH 6.5 的 $0.2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 组氨酸盐缓冲液的方法。

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Biophysics and Biochemistry

Biology

近年来，乳腺癌的发生机制逐渐显示出不仅仅依赖于上皮细胞内部的遗传突变，更与组织微环境中其他细胞的相互作用密切相关。特别是 BRCA1突变携带者的乳腺组织中，除了上皮细胞明显的增殖和分化异常外，前癌性基质细胞也展示出与正常情况不同的转录组重塑现象。研究利用单细胞RNA测序、原位检测以及体内外功能实验，系统比较了 BRCA1+/mut 与非携带者乳腺样本中上皮及基质细胞的状态和相互间的信号传递。

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Cell Biology

Biology

在肝癌中，印记基因H19（母源表达）和IGF2（父源表达）常发生“印记丢失”（LOI），导致IGF2双等位基因表达。已知H19的抑制与DNA甲基化转移酶（DNMT1）异常相关。如何证明肝癌细胞中H19的沉默是由于其启动子区超甲基化，而非转录因子缺失？若发现H19启动子区存在“部分甲基化”（即部分细胞完全甲基化，部分未甲基化），请设计实验区分这是克隆性变异还是随机表观遗传噪声。

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Cell Biology

Biology

Albert writes 2025 numbers $a_1, \ldots, a_{2025}$ in a circle on a blackboard. Initially, each of the numbers is uniformly and independently sampled at random from the interval $[0,1]$. Then, each second, he simultaneously replaces $a_i$ with $\max \left(a_{i-1}, a_i, a_{i+1}\right)$ for all $i=1,2, \ldots, 2025$ (where $a_0=a_{2025}$ and $\left.a_{2026}=a_1\right)$. Compute the expected value of the number of distinct values remaining after 100 seconds.

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Statistics and Operations Research

Math

我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为 $p(0<p<1)$ ．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 $k$ 位密切关联者与之接触（而这 $k$ 个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为 $X(0 \leq X \leq k)$ ．（1）求一天内被感染人数 $X$ 的概率 $p(X)$ 的表达式和 $X$ 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与 $k$ 位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第 1 天开始算起，第 $n$ 天新增患者的数学期望记为 $E_{n}(n \geq 2)$ ．（1）当 $k=10, p=\frac{1}{2}$ ，求 $E_{8}$ 的值；（2）试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率 $p^{\prime}$ 满足关系式 $p^{\prime}=\ln (1+p)-\frac{2 p}{3}$ ．当 $p^{\prime}$ 取得最大值时，计算 $p^{\prime}$ 所对应的 $E_{6}{ }^{\prime}$ 和 $p$ 所对应的 $E_{6}$ 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取 $k=10)$ ．（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6, \frac{1}{3} \approx 0.3, \frac{2}{3} \approx 0.7,6^{6}=46656$ 计算结果保留整数）

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Statistics and Operations Research

Math

曹冲称象是家喻户晓的历史故事：时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。” 太祖大悦，即施行焉。在桌游《三国杀》中，“称象” 是曹冲的技能：当你受到伤害后，你可以亮出牌堆顶的四张牌，然后获得其中的任意张点数之和小于或等于 13 的牌。为简化模型，我们假定牌的总数无限，每张牌的所有可能点数为 1,2,……,13，它们独立等可能出现。令随机变量 X 如下：X 为最大的整数，使得这四张牌中存在 X 张的点数之和不超过 13。例如：若抽出的四张牌的点数分别为 2,3,5,7，则此时 X = 3。试求 X 的数学期望。

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Statistics and Operations Research

Math

In the coordinate plane, a closed lattice loop of length $2 n$ is a sequence of lattice points $P_0, P_1$, $P_2, \ldots, P_{2 n}$ such that $P_0$ and $P_{2 n}$ are both the origin and $P_i P_{i+1}=1$ for each $i$. A closed lattice loop of length 2026 is chosen uniformly at random from all such loops. Let $k$ be the maximum integer such that the line $\ell$ with equation $x+y=k$ passes through at least one point of the loop. Compute the expected number of indices $i$ such that $0 \leq i \leq 2025$ and $P_i$ lies on $\ell$.

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Statistics and Operations Research

Math

In an $11 \times 11$ grid of cells, each pair of edge-adjacent cells is connected by a door. Karthik wants to walk a path in this grid. He can start in any cell, but he must end in the same cell he started in, and he cannot go through any door more than once (not even in opposite directions). Compute the maximum number of doors he can go through in such a path.

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Statistics and Operations Research

Math

有一正$n$边形$(3\nmid n)$，初始时将每个顶点独立且等可能地标记上$0$或$1$。若某个顶点相邻的两个顶点标记的数字不同，那么它的数字在下一时刻翻转（$0$变成$1$，$1$变成$0$）。求经过足够长时间后，所有顶点上的数字都为$1$的概率。

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Statistics and Operations Research

Math

Ben has 16 balls labeled $1,2,3, \ldots, 16$, as well as 4 indistinguishable boxes. Two balls are neighbors if their labels differ by 1 . Compute the number of ways for him to put 4 balls in each box such that each ball is in the same box as at least one of its neighbors. (The order in which the balls are placed does not matter.)

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Algebra and Geometry

Math

Compute the number of ordered pairs $(m, n)$ of odd positive integers both less than $80$ such that $$ \operatorname{gcd}\left(4^m + 2^m + 1, 4^n + 2^n + 1\right) > 1 $$

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Algebra and Geometry

Math

已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 上任意一点 $R$ 满足 $|R F|$ 的最小值为 1 （ $F$ 为焦点）．（1）求 $C$ 的方程；（2）过点，$P(t,-1)$ 的直线经过 $F$ 点且与物线交于 $M, ~ N$ 两点，求证：$\frac{2}{|P F|}=\frac{1}{|P M|}+\frac{1}{|P N|}$ ；（3）过 $F$ 作一条倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线交抛物线于 $A, ~ B$ 两点，过 $A, ~ B$ 分别作抛物线的切线．两条切线交于 $Q$ 点，过 $Q$ 任意作一条直线交抛物线于 $E, ~ H$ ，交直线 $A B$ 于点 $G$ ，则 $|Q G|,|Q E|, ~|Q H|$满足什么关系？

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Algebra and Geometry

Math

Let $\triangle A B C$ be an equilateral triangle with side length 6 . Let $P$ be a point inside triangle $\triangle A B C$ such that $\angle B P C=120^{\circ}$. The circle with diameter $\overline{A P}$ meets the circumcircle of $\triangle A B C$ again at $X \neq A$. Given that $A X=5$, compute $X P$.

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Algebra and Geometry

Math

平面坐标系中，某可写作标准方程的圆锥曲线与曲线$2^x+y^2=\textcolor{BLUE}{1217}$在第一象限($x,y>0$)存在若干个交点，且交点的横纵坐标均为整数。令圆为离心率为$0$的圆锥曲线，求这个圆锥曲线的离心率的存在范围。 {\footnotesize 注：可写作标准方程的圆锥曲线性质如下：它的焦点都在坐标轴上，中心（抛物线则顶点）位于原点。}

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Algebra and Geometry

Math

设 $p$ 是一个大于 2023 的素数。记 $\mathcal{X}$ 为 $\mathbb{F}_p$ 线性空间 $\mathbb{F}_p^{2023}$ 的所有 2000 维子空间组成的集合。找出满足对任意 $V \in \mathcal{X}$, $$\sum_{W \in \mathcal{Y}} (V \cap W) = V$$ 成立的 $\mathcal{X}$ 的子集 $\mathcal{Y}$ 的最小可能元素个数

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Algebra and Geometry

Math

将正整数 $1,2, \cdots, 100$ 填入 $10 \times 10$ 方格表中，每个小方格恰好填 1 个数，要求每行从左到右 10 个数依次递减，记第 $i$ 行的 10 个数之和为 $S_i(i=1,2, \cdots, 10)$ ．设 $n \in\{1,2, \cdots, 10\}$ 满足：存在一种填法，使得 $S_1, S_2, \cdots, S_{10}$ 均大于第 $n$ 列上的 10 个数之和，求 $n$ 的最小值．

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Algebra and Geometry

Math

将自然数1,2...1024分入三个递增子列X,Y,Z（可以有空的），满足(1)每个子列的相邻两项奇偶性不同,(2)若XYZ均非空，则恰有其中一个的最小元是偶数，求满足条件的分案总数。

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Algebra and Geometry

Math

Two points are selected independently and uniformly at random inside a regular hexagon. Compute the probability that a line passing through both of the points intersects a pair of opposite edges of the hexagon.

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Algebra and Geometry

Math

Let $n$ be a positive integer, let $v_0$ be the zero vector in $\{0, 1\}^n$, and choose $v_1 \in \{0, 1\}^n$. Define vectors $v_k \in \{0, 1\}^n$ as follows. For $k \geq 2$, work modulo 2 and let $v_k = v_{k-1} + v_{k-1}^* + v_{k-2}^*$, where $(x_1, \ldots, x_n)^* = (x_2, \ldots, x_n, x_1)$. Write $\Sigma v$ for the sum of the entries of vector $v$. Find the maimum of $\sum_{k=1}^{2n} \Sigma v_k $ and for which choices of $v_1$ has the maximum been reached?

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Algebra and Geometry

Math

系列问题1：考虑曲面积分 $$\int_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}=\int_{\Sigma} \frac{x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} \sigma$$ 此处 $\Sigma$ 为曲面 $$ 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16} \quad(z \geqslant 0)$$ 利用 Gauss-Ostrogradskii 公式，计算上述曲面积分

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Algebra and Geometry

Math

A square of side length 1 is dissected into two congruent pentagons. Compute the least upper bound of the perimeter of one of these pentagons.

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Algebra and Geometry

Math

设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $n$ 个两两不同的正整数且 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 恰有 4048 个质因数．如果 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中任意多个数相乘均不是一个整数的 4049 次方，求 $n$ 的最大值．

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Algebra and Geometry

Math

evaluate $$\sum_{j=0}^{2020} \sum_{k=\lfloor j/2 \rfloor}^j \binom{2022}{2k+1} \binom{1011}{2k-j}.$$

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Algebra and Geometry

Math

Compute the number of ways to arrange the numbers $1,2,3,4,5,6$, and 7 around a circle such that the product of every pair of adjacent numbers on the circle is at most 20. (Rotations and reflections count as different arrangements.)

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Algebra and Geometry

Math

设双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-y^2=1$ ，直线 $l: y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．（1）求 $m$ 的取值范围；（2）已知 $C$ 上存在异于 $A, B$ 的 $P, Q$ 两点，使得 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=t$ ．（i）当 $t=4$ 时，求 $P, Q$ 到点 $(-2 m,-m)$ 的距离（用含 $m$ 的代数式表示）；（ii）当 $t=2$ 时，记原点到直线 $P Q$ 的距离为 $d$ ，若直线 $P Q$ 经过点 $(-m, m)$ ，求 $d$ 的取值范围．

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Algebra and Geometry

Math

有一只生活在n维超立方体上的蚂蚁，每天都想着锻炼身体，它也特别有好奇心，它每天都要确定一条与之前爬行路线不同的新路线，可是它的体力有限，每天最多能爬行n条边，因此每条路线既要在它体力承受范围内，也要保证它能顺利返回家，请问在它的这种锻炼方式下，它最多能锻炼多少天？

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Algebra and Geometry

Math

数列$\{ a_{n}\}_{n\in\mathbf{N}}$满足$a_{0}=\alpha$，$a_{1}=\beta$，$a_{2}=\gamma$，且$\forall n\geq3$，$a_{n - 3}$，$a_{n - 1}a_{n - 2}$，$a_{n}$构成等差数列。若$(\alpha,\beta,\gamma)=(1,2,2)$，求$\{ a_{n}\}$的通项公式。

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Algebra and Geometry

Math

已知集合 $M_n=\left\{x \in \mathrm{~N}^* \mid x \leq 2 n\right\}(n \in \mathbf{N}, n \geq 4)$ ，若存在数阵 $T=\left[\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right]$ 满足：①$\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\} \cup\left\{b_1, b_2, \cdots, b_n\right\}=M_n$ ； ②$a_k-b_k=k(k=1,2, \cdots, n)$ ．则称集合 $M_n$ 为＂好集合＂，并称数阵 $T$ 为 $M_n$ 的一个＂好数阵＂．（1）已知数阵 $T=\left[\begin{array}{llll}x & y & z & 6 \\ 7 & w & 1 & 2\end{array}\right]$ 是 $M_4$ 的一个＂好数阵＂，试写出 $x, y, z, w$ 的值；（2）若集合 $M_n$ 为＂好集合＂，求集合 $M_n$ 的＂好数阵＂必有奇数个还是偶数个（3）判断 $M_n(n=5,6)$ 是否为＂好集合＂

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Algebra and Geometry

Math

设三元函数 $f(x, y, z)$ 连续，且 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{4}} f(x, y, z) \mathrm{d} z=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ ．在积分区域 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 上求一点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，使 $S$ 在点 $P$ 处的切平面 $\pi$ 经过点 $Q_1(1,-1,-1)$ 和 $Q_2(3,0,2)$ ．

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Algebra and Geometry

Math

Compute the number of ways to arrange 3 copies of each of the 26 lowercase letters of the English alphabet such that for any two distinct letters $x_1$ and $x_2$, the number of $x_2$ 's between the first and second occurrences of $x_1$ equals the number of $x_2$ 's between the second and third occurrences of $x_1$.

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Algebra and Geometry

Math

考虑\hat{sp}(4)_3的permutation invariant，其含有affine extension并且具有第二低的quantum dimension的有限的权的集合为 \{\omega_1,3\omega_1,\omega_1+2\omega_2,\omega_2,2\omega_2\}, 请找出这个集合中唯一存在的两种保证modular T变换下不变的permutation形式。请给出详细的推导过程和具体结论。

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Algebra and Geometry

Math

已知椭圆 \frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = \lambda, F是其左焦点，A,B是椭圆上的两个点并且 FA=5，FB=8，求直线AB的斜率k的取值范围。

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Algebra and Geometry

Math

A plane $\mathcal{P}$ intersects a rectangular prism at a hexagon which has side lengths $45,66,63,55,54$, and 77, in that order. Compute the distance from the center of the rectangular prism to $\mathcal{P}$.

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Algebra and Geometry

Math

Right triangle $\triangle D E F$ with $\angle D=90^{\circ}$ and $\angle F=30^{\circ}$ is inscribed in equilateral triangle $\triangle A B C$ such that $D, E$, and $F$ lie on segments $\overline{B C}, \overline{C A}$, and $\overline{A B}$, respectively. Given that $B D=7$ and $D C=4$, compute $D E$.

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Algebra and Geometry

Math

Given that $x, y$, and $z$ are positive real numbers such that $$ x^{\log _2(y z)}=2^8 \cdot 3^4, \quad y^{\log _2(z x)}=2^9 \cdot 3^6, \quad \text { and } \quad z^{\log _2(x y)}=2^5 \cdot 3^{10}, $$ compute the smallest possible value of $x y z$.

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Algebra and Geometry

Math

Sophie is at $(0,0)$ on a coordinate grid and would like to get to $(3,3)$. If Sophie is at $(x, y)$, in a single step she can move to one of $(x+1, y),(x, y+1),(x-1, y+1)$, or $(x+1, y-1)$. She cannot revisit any points along her path, and neither her $x$-coordinate nor her $y$-coordinate can ever be less than 0 or greater than 3. Compute the number of ways for Sophie to reach $(3,3)$.

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Algebra and Geometry

Math

求二次型 \[f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |i - j| \, x_i x_j \] 的标准型.

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Algebra and Geometry

Math

A parallelogram $P$ can be folded over a straight line so that the resulting shape is a regular pentagon with side length 1 . Compute the perimeter of $P$.

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Algebra and Geometry

Math

Compute the number of ways to pick two rectangles in a $5 \times 5$ grid of squares such that the edges of the rectangles lie on the lines of the grid and the rectangles do not overlap at their interiors, edges, or vertices. The order in which the rectangles are chosen does not matter.

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Algebra and Geometry

Math

Let $q$ be an odd prime, and let $F_q$ be the field with $q$ elements. Define permutations $\rho$, $\sigma$, and $\tau$ of $F_q$ by \[ \rho(x) = x + 1, \quad \sigma(x) = x^{q-2}, \] and \[ \tau(x) = -x^{q-2}. \] (a) Compute the group generated by permutations $\rho$ and $\sigma$. (b) Compute the group generated by permutations $\rho$ and $\tau$ .

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Algebra and Geometry

Math

设$F=\mathbb{Q}$，$E=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4},\xi_5)$，求Galois群$G=\text{Gal}(E/F)$，以及$G$的所有子群和$F$与$E$之间的对应子域。

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Algebra and Geometry

Math

求解方程 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}(t^2+x^2+3)=2t\left(2x-\frac{t^2}{x}\right) $$

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